Производящая функция для канонического преобразования

Question

Производящая функция для канонического преобразования

Физика
фазовое пространство
скобки Пуассона
классическая механика
гамильтоновский формализм

Мерк Зокерборг

Укороченная версия:

Я прочитал некоторые заметки об интегрируемых системах/гамильтоновой динамике и застрял на проблеме: покажите, что преобразование координат, полученное с помощью метода производящей функции, дает вам каноническое преобразование.

Длинная версия:

Изменение координат $(\vec{q},\vec{p})\to (\vec{Q},\vec{P})$ называется каноническим, если он оставляет инвариантными уравнения Гамильтона, т. е. уравнения в исходных координатах
$\dot{\vec{д}} "=" \frac{\partial ЧАС}{\partial \vec{п}}, \dot{\vec{п}} "=" - \frac{\partial ЧАС}{\partial \vec{д}}$ $\dot{\vec{q}}=\frac{\partial H}{\partial\vec{p}},\quad \dot{\vec{p}}=-\frac{\partial H}{\partial\vec{q}}$ эквивалентны $\dot{\vec{Вопрос}} "=" \frac{\partial \tilde{ЧАС}}{\partial \vec{п}}, \dot{\vec{п}} "=" - \frac{\partial \tilde{ЧАС}}{\partial \vec{Вопрос}}$ $\dot{\vec{Q}}=\frac{\partial\tilde{H}}{\partial\vec{P}}, \quad \dot{\vec{P}}=-\frac{\partial\tilde{H}}{\partial\vec{Q}}$ где $\tilde{H}(\vec{Q},\vec{P})=H(\vec{q},\vec{p})$ .

Метод производящей функции:

Предположим, у нас есть функция $S:\mathbb{R}^{2n}\to\mathbb{R}.$ Напишите его аргументы $S(\vec{q},\vec{P})$ . Теперь установите
$\vec{п} "=" \frac{\partial С}{\partial \vec{д}}, \vec{Вопрос} "=" \frac{\partial С}{\partial \vec{п}} .$ $\vec{p}=\frac{\partial S}{\partial \vec{q}}, \quad \vec{Q}=\frac{\partial S}{\partial \vec{P}}.$ Первое уравнение позволяет решить для $\vec{P}$ с точки зрения $\vec{q},\vec{p}$ . Второе уравнение позволяет решить для $\vec{Q}$ с точки зрения $\vec{q},\vec{P}$ , и, следовательно, с точки зрения $\vec{q},\vec{p}$ . Новые координаты $\vec{Q}$ , $\vec{P}$ мы находим, что этот способ даст каноническое преобразование. Проверка этого — просто тщательное применение цепного правила.

Моя проблема:

Поэтому я решил попытаться разработать это «тщательное применение цепного правила», то есть доказать, что преобразование, полученное с помощью этого метода производящей функции, является каноническим. Я не смог этого сделать, и помощь в решении этой проблемы будет принята с благодарностью.

****мой прогресс****

например попытаться доказать $\dot{\vec{P}}=-\frac{\partial\tilde{H}}{\partial\vec{Q}}$ . Думать о $H$ как $H(\vec{q}(\vec{Q},\vec{P}),\vec{p}(\vec{Q},\vec{P}))$ , и используя цепное правило,

\frac{\partial \tilde{ЧАС}}{\partial {Вопрос}_{я}} "=" \frac{\partial ЧАС}{\partial д_{Дж}} \frac{\partial д_{Дж}}{\partial {Вопрос}_{я}} + \frac{\partial ЧАС}{\partial п_{Дж}} \frac{\partial п_{Дж}}{\partial {Вопрос}_{я}} "=" - {\dot{п}}_{Дж} \frac{\partial д_{Дж}}{\partial {Вопрос}_{я}} + {\dot{д}}_{Дж} \frac{\partial п_{Дж}}{\partial {Вопрос}_{я}}

$\frac{\partial\tilde{H}}{\partial Q_i}=\frac{\partial H}{\partial q_j}\frac{\partial q_j}{\partial Q_i}+\frac{\partial H}{\partial p_j}\frac{\partial p_j}{\partial Q_i}=-\dot{p}_j\frac{\partial q_j}{\partial Q_i}+\dot{q}_j\frac{\partial p_j}{\partial Q_i}$ используя исходные уравнения Гамильтона.

Тем временем,

- {\dot{п}}_{я} "=" - \frac{\partial п_{я}}{\partial д_{Дж}} {\dot{д}}_{Дж} - \frac{\partial п_{я}}{\partial п_{Дж}} {\dot{п}}_{Дж},

$-\dot{P}_i=-\frac{\partial P_i}{\partial q_j}\dot{q}_j-\frac{\partial P_i}{\partial p_j}\dot{p}_j,$ так что достаточно показать

\frac{\partial п_{я}}{\partial п_{Дж}} "=" \frac{\partial д_{Дж}}{\partial {Вопрос}_{я}}, \frac{\partial п_{я}}{\partial д_{Дж}} "=" - \frac{\partial п_{Дж}}{\partial {Вопрос}_{я}} .

$\frac{\partial P_i}{\partial p_j}=\frac{\partial q_j}{\partial Q_i},\quad \frac{\partial P_i}{\partial q_j}=-\frac{\partial p_j}{\partial Q_i}.$ я смог показать

\frac{\partial п_{Дж}}{\partial п_{я}} "=" \frac{\partial {Вопрос}_{я}}{\partial д_{Дж}}

$\frac{\partial p_j}{\partial P_i}=\frac{\partial Q_i}{\partial q_j}$ с помощью цепного правила и симметрии частных производных. Затем это дает нам первое желаемое равенство путем обращения матрицы Якоби:

{[\frac{\partial п_{Дж}}{\partial п_{я}}]}^{- 1} "=" {[\frac{\partial {Вопрос}_{я}}{\partial д_{Дж}}]}^{- 1} ⟹ [\frac{\partial п_{я}}{\partial п_{Дж}}] "=" [\frac{\partial д_{Дж}}{\partial {Вопрос}_{я}}]

$\left[\frac{\partial p_j}{\partial P_i}\right]^{-1} =\left[\frac{\partial Q_i}{\partial q_j}\right]^{-1} \implies \left[\frac{\partial P_i}{\partial p_j}\right] =\left[\frac{\partial q_j}{\partial Q_i}\right]$

Однако я не уверен, как показать

\frac{\partial п_{я}}{\partial д_{Дж}} "=" - \frac{\partial п_{Дж}}{\partial {Вопрос}_{я}} .

$\frac{\partial P_i}{\partial q_j}=-\frac{\partial p_j}{\partial Q_i}.$

Ответы (2)

Производящая функция для канонического преобразования

Qмеханик · Answer 1

Напомним, что преобразование координат
$\begin{matrix} (1) & (д^{я}, п_{я}) \mapsto ({Вопрос}^{я} (д, п, т), п_{я} (д, п, т)) \end{matrix}$ $(q^i,p_i)~~\mapsto~~ \left(Q^i(q,p,t),P_i(q,p,t)\right)\tag{1}$ с производящей функцией $F$ имеет форму $^1$ $\begin{matrix} (2) & λ \underset{"=" л_{ЧАС}}{\underset{⏟}{(\sum_{я "=" 1}^{н} п_{я} д д^{я} - ЧАС д т)}} "=" \underset{"=" л_{К}}{\underset{⏟}{(\sum_{я "=" 1}^{н} п_{я} д {Вопрос}^{я} - К д т)}} + д Ф, \end{matrix}$ $\lambda\underbrace{(\sum_{i=1}^np_i\mathrm{d}q^i-H\mathrm{d}t)}_{~=:~\mathbb{L}_H} ~=~\underbrace{(\sum_{i=1}^nP_i\mathrm{d}Q^i -K\mathrm{d}t)}_{~=:~\mathbb{L}_K} ~+~\mathrm{d}F,\tag{2}$ где $\lambda\neq 0$ является отличной от нуля константой.
Поскольку 2 лагранжевы 1-формы $\mathbb{L}_H$ и $\mathbb{L}_K$ одинаковы вне оболочки с точностью до полной производной и общей мультипликативной константы $\lambda$ , они дают одни и те же уравнения Эйлера-Лагранжа (EL) , которые явно являются уравнениями Гамильтона в обоих случаях. Следовательно, преобразование координат (2) оставляет уравнения Гамильтона формоинвариантными.
уравнения (2) представляют собой понятие канонического преобразования (КП), ср. например, этот пост Phys.SE.

--

$^1$ генератор ОП $F=S(q,P,t)-\sum_{i=1}^nP_iQ^i$ имеет тип 2 и в случае OP $\lambda=1$ .

Тоби7 · Answer 2

То, что вы нашли, — это, по сути, еще один способ описания канонических преобразований. Начнем с расчета

{\dot{Вопрос}}_{я} "=" \frac{\partial {Вопрос}_{я}}{\partial д_{Дж}} {\dot{д}}_{Дж} + \frac{\partial {Вопрос}_{я}}{\partial п_{Дж}} \dot{п_{Дж}} "=" \frac{\partial {Вопрос}_{я}}{\partial д_{Дж}} \frac{\partial ЧАС}{\partial п_{Дж}} - \frac{\partial {Вопрос}_{я}}{\partial п_{Дж}} \frac{\partial ЧАС}{\partial п_{Дж}} .

$\dot{Q}_i = \frac{\partial Q_i}{\partial q_j} \dot{q}_j + \frac{\partial Q_i}{\partial p_j} \dot{p_j} = \frac{\partial Q_i}{\partial q_j} \frac{\partial H}{\partial p_j} - \frac{\partial Q_i}{\partial p_j} \frac{\partial H}{\partial p_j}.$ Это должно быть равно

\frac{\partial ЧАС}{\partial п_{я}} "=" \frac{\partial ЧАС}{\partial д_{Дж}} \frac{\partial д_{Дж}}{\partial п_{я}} + \frac{\partial ЧАС}{\partial п_{Дж}} \frac{\partial п_{Дж}}{\partial п_{я}} .

$\frac{\partial H}{\partial P_i} = \frac{\partial H}{\partial q_j} \frac{\partial q_j}{\partial P_i} + \frac{\partial H}{\partial P_j}\frac{\partial p_j}{\partial P_i}.$ Сравнение этих двух уравнений дает

\frac{\partial ЧАС}{\partial п_{Дж}} (\frac{\partial {Вопрос}_{я}}{\partial д_{Дж}} - \frac{\partial п_{Дж}}{\partial п_{я}}) "=" \frac{\partial ЧАС}{\partial д_{Дж}} (\frac{\partial д_{Дж}}{\partial п_{я}} + \frac{\partial {Вопрос}_{я}}{\partial п_{Дж}}) .

$\frac{\partial H}{\partial p_j} \left( \frac{\partial Q_i}{\partial q_j} - \frac{\partial p_j}{\partial P_i}\right) = \frac{\partial H}{\partial q_j}\left(\frac{\partial q_j}{\partial P_i} + \frac{\partial Q_i}{\partial p_j}\right).$ Поскольку ни

\partial H / \partial p_{j}

$\partial H / \partial p_j$ ни

\partial H / \partial q_{j}

$\partial H / \partial q_j$ идентичны 0, выражения в скобках должны быть равны 0. В вашем случае вам нужно будет показать, что производящая функция

S

$S$ дает преобразование, которое соблюдает эти уравнения (аналогичный аргумент для

{\dot{P}}_{i}

$\dot{P}_i$ дает identiy в вашем вопросе).

С более теоретической точки зрения преобразование является каноническим, если скобки Пуассона сохраняются:

{{Вопрос}_{я}, {Вопрос}_{Дж}} "=" 0, {п_{я}, п_{Дж}} "=" 0, {{Вопрос}_{я}, п_{Дж}} "=" {дельта}_{я Дж} .

$\{Q_i, Q_j\} = 0, \qquad \{P_i, P_j\} = 0, \qquad \{Q_i, P_j\} = \delta_{ij}.$ И с еще более абстрактной точки зрения кто-то может показать, что преобразование является каноническим, проверив, сохраняет ли оно симплектическую структуру уравнений Гамильтона. Если

J

$J$ - матрица Якоби и

E

$E$ в

2 n \times 2 n

$2n\times 2n$ матрица

Е "=" (\begin{matrix} 0 & {дельта}_{я Дж} \\ - дельта я Дж & 0 \end{matrix})

$E = \begin{pmatrix} 0 &\delta_{ij} \\ -\delta{ij} & 0 \end{pmatrix}$ то симплектическая структура сохраняется тогда и только тогда, когда

J E J^{⊤} = E

$J E J^\top = E$ . Кстати,

J

$J$ в этом случае называется симплектическим.

Каноническое преобразование, индуцированное производящей функцией $S$ должно удовлетворять всем трем условиям, но поскольку они эквивалентны, вам просто нужно проверить, что одно из них верно.

Привет, спасибо за ответ. Когда вы говорите: «В вашем случае вам придется показать, что производящая функция $S$ дает преобразование, которое удовлетворяет этим уравнениям» — это именно то, на чем я застрял! Точнее, как мне показать, что вторая скобка равна нулю: $\frac{\partial д_{Дж}}{\partial п_{я}} + \frac{\partial {Вопрос}_{я}}{\partial п_{Дж}} "=" 0 ?$ $\frac{\partial q_j}{\partial P_i}+\frac{\partial Q_i}{\partial p_j}=0?$
Просто подключите функцию генерации с помощью $Q_i = \frac{\partial S}{\partial P_j}$ . Продифференцируйте это выражение по $p_j$ , что должно дать $0$ , с $S$ не зависит от $p_j$ .
Не уверен, что согласен с этим. Строго говоря, если бы вы различали функцию с аргументами $(\vec{q}, \vec{P})$ в отношении $p_j$ вам придется повторно выразить $\vec{P}$ как $\vec{P}(\vec{q},\vec{p})$ . Тогда ваша производная будет включать цепное правило и будет отличной от нуля. $\frac{\partial С}{\partial п_{Дж}} "=" \frac{\partial С}{\partial п_{к}} \frac{\partial п_{к}}{\partial п_{Дж}} .$ $\frac{\partial S}{\partial p_j}=\frac{\partial S}{\partial P_k}\frac{\partial P_k}{\partial p_j}.$ Частные производные относятся к производной по определенному слоту аргументов функции.
Я согласен с вами, мой аргумент относительно производной неверен. Но я думал об использовании симметрии частных производных, т.е. $\frac{\partial}{\partial п_{Дж}} \frac{\partial}{\partial п_{к}} С "=" \frac{\partial}{\partial п_{к}} \frac{\partial}{\partial п_{Дж}} С$ $\frac{\partial}{\partial p_j}\frac{\partial}{\partial P_k}S = \frac{\partial}{\partial P_k}\frac{\partial}{\partial p_j}S$ . Что вы думаете?
Эй, я нашел «официальное решение» после некоторого просмотра в Интернете. Вот здесь, если вам интересно: damtp.cam.ac.uk/user/acla2/IS_handout1.pdf . Оказывается, наш подход, возможно, был неправильным. Скорее, вы должны использовать тот факт, что преобразование $Икс \to у (Икс)$ $x\to y(x)$ является каноническим тогда и только тогда, когда матрица Якоби $Dy$ является симплектическим $Д у Дж (Д у)^{Т} "=" Дж$ $Dy J (Dy)^T=J$

Производящая функция для канонического преобразования

Мерк Зокерборг

Ответы (2)

Qмеханик

Тоби7

Мерк Зокерборг

Тоби7

Мерк Зокерборг

Тоби7

Мерк Зокерборг

Тоби7

Сохраняющиеся заряды/константы движения на и вне оболочки

Одномерная система гамильтонова система?

Есть ли связь между скобками Пуассона и матрицей Якоби?

Аналогия тензорного оператора в классической физике

Неевклидово фазовое пространство?

Путаница в отношении свойств скобок Пуассона

Вычисление стандартной матрицы симплектического пространства

Какие преобразования являются каноническими?

Симплектическая форма на ковариантном фазовом пространстве

Как работает преобразование Лежандра H→LH→LH\to L в неканонических координатах?