Почему SU(3)SU(3)SU(3) имеет восемь генераторов?

Любое линейное преобразование, произведенное на алгебре Ли группы Ли, дает правильную алгебру Ли, как я думаю, вы понимаете (матрицы Гелл-Манна на самом деле$i$умножить на кососимметричные члены алгебры Ли), и предложенное вами$\lambda_3$является линейной комбинацией матриц Гелл-Манна. Основа, состоящая$i$раз матрицы Гелл-Манна действительно охватывают$\mathfrak{su}(3)$: их восемь, они линейно независимы и алгебра$3\times3$кососимметричные матрицы имеют восемь параметров, поэтому они должны быть действительными!

Все теоретико-групповые исследования теоретически могут быть выполнены с любой такой алгеброй Ли. Вы можете использовать предложенную вами матрицу вместо$\lambda_8$и теоретически теория лжи будет работать идеально. Итак, ваш вопрос на самом деле касается условности : почему мы выбираем именно эту основу?

Одно удобство, обеспечиваемое матрицами Гелл-Манна, которое не было бы обеспечено предложенной вами схемой, заключается в том, что матрицы Гелл-Манна ортогональны по отношению к форме Киллинга , а также они ортогональны по отношению к обычному скалярному произведению следа (это потому, что$SU(3)$не имеет непрерывного центра, и его алгебра Ли остается неизменной при отображении присоединенным представлением, так что скалярный продукт следа совпадает с формой Киллинга). В алгебре может быть только две диагональные матрицы, потому что мы можем выбрать только два из трех диагональных элементов по желанию, когда рассматриваемые матрицы должны быть бесследовыми, поэтому, если$\lambda_3$находится в основе, предлагаемая вами матрица не может быть: вторая диагональная матрица должна быть ортогональна$\lambda_3$.