Унитарное условие времени

Question

Унитарное условие времени

NBit

У меня есть путаница в отношении принципа КМ, который утверждает, что эволюция во времени должна быть унитарной. В частности, учитывая, что состояния трансформируются во времени как $|\Psi(t)\rangle = U(t)|\Psi(0)\rangle$ ; выполняет условие:

⟨ Φ (0) | Ψ (0) ⟩ "=" 0 ⟹ ⟨ Φ (т) | Ψ (т) ⟩ "=" 0

$\langle\Phi(0)|\Psi(0)\rangle=0 \ \implies \ \langle\Phi(t)|\Psi(t)\rangle=0$

подразумевает, что $U$ должно быть единым, или оно навязывается $U$ ?

Я понимаю, что с ранее упомянутым условием можно доказать, что для двух ортонормированных членов базиса $i,j$ : $\langle i| U^{\dagger}U | j \rangle = 0$ . Можно ли доказать, что для одного и того же члена произведение равно 1?

ZeroTheHero

Если

U

$U$ унитарно тогда

U^{†}

$U^{\dagger}$ является обратным

U

$U$ по определению.

NBit

Да, но вопрос в том, как показать, что это так.

ZeroTheHero

С

| Ψ (t) ⟩ = U | Ψ (0) ⟩

$\vert \Psi(t)\rangle = U\vert\Psi(0)\rangle$ тогда ясно

⟨ Φ (т) | Ψ (т) ⟩ "=" ⟨ Φ (0) | U^{†} U | Ψ (0) ⟩ "=" ⟨ Φ (0) | Ψ (0) ⟩

$\langle \Phi(t)\vert \Psi(t)\rangle = \langle \Phi(0)\vert U^\dagger\,U\vert \Psi(0)\rangle = \langle\Phi(0)\vert\Psi(0)\rangle$ действительный

\forall t

$\forall t$ подразумевает

U^{†} U = \hat{1} \forall t

$U^\dagger U=\hat 1\, \forall t$ также, если ваши кеты произвольны. (Надеюсь, этого должно быть достаточно.)

Люк

Условие сохранения ортогональности, которое вы указали отдельно, также допускает операторы, удовлетворяющие

U^{†} U = c \cdot 1

$U^\dagger U = c \cdot 1$ с любой константой

c

$c$ . Обычно говорят, что унитарность исходит из сохранения нормы, т.е.

< ψ (t), ψ (t) >=< ψ (0), ψ (0) >

$< \psi(t) ,\psi(t)> = <\psi(0),\psi(0)>$ .

Ответы (1)

Унитарное условие времени

Если $U$ унитарно тогда $U^{\dagger}$ является обратным $U$ по определению.
Да, но вопрос в том, как показать, что это так.
С $\vert \Psi(t)\rangle = U\vert\Psi(0)\rangle$ тогда ясно $⟨ Φ (т) | Ψ (т) ⟩ "=" ⟨ Φ (0) | U^{†} U | Ψ (0) ⟩ "=" ⟨ Φ (0) | Ψ (0) ⟩$ $\langle \Phi(t)\vert \Psi(t)\rangle = \langle \Phi(0)\vert U^\dagger\,U\vert \Psi(0)\rangle = \langle\Phi(0)\vert\Psi(0)\rangle$ действительный $\forall t$ подразумевает $U^\dagger U=\hat 1\, \forall t$ также, если ваши кеты произвольны. (Надеюсь, этого должно быть достаточно.)
Условие сохранения ортогональности, которое вы указали отдельно, также допускает операторы, удовлетворяющие $U^\dagger U = c \cdot 1$ с любой константой $c$ . Обычно говорят, что унитарность исходит из сохранения нормы, т.е. $< \psi(t) ,\psi(t)> = <\psi(0),\psi(0)>$ .

Вальтер Моретти · Answer 1

Это интересная элементарная задача. После того, как я доказал следующее утверждение, где я использую $A^*$ для примыкания $A$ .

Предложение . Позволять $U: H \to H$ — ограниченный оператор над гильбертовым пространством $H$ . Следующие условия эквивалентны.

а) для $x,y \in H$ , $\quad$ $\langle x|y\rangle =0$ подразумевает $\langle Ux|Uy\rangle =0$

(б) $U^*U = cI$ для некоторых реальных $c\geq 0$ .

Прежде чем доказывать утверждение, замечу, что даже если $c=1$ , $U$ не обязательно унитарна, потому что унитарность $U^*U=UU^*=I$ . И здесь $UU^*=I$ обычно терпит неудачу, когда $H$ бесконечномерна (иначе она тривиально верна как следствие $U^*U=I$ ). Для $c=1$ , $U$ является изометрией, не обязательно сюръективной.

Доказательство . Очевидно, что из (b) следует (a), поэтому докажем, что из (a) следует (b). Условие (а) можно перефразировать как $y \perp x$ подразумевает $y \perp U^*Ux$ . Как следствие $U^*Ux \in \{\{x\}^\perp\}^\perp$ который является линейным пролетом $x$ . Другими словами $U^*U x = \lambda_x x$ для некоторых $\lambda_x\in \mathbb C$ . Моя цель сейчас доказать, что $\lambda_x$ не зависит от $x$ .

Для этого рассмотрим пару векторов $x \perp y$ с $x, y \neq 0$ . Используя приведенный выше аргумент, мы имеем

\begin{matrix} (1) & U^{*} U Икс "=" λ_{Икс} Икс, U^{*} U у "=" λ_{у} у, U^{*} U (Икс + у) "=" λ_{Икс + у} (Икс + у) . \end{matrix}

$U^*U x = \lambda_x x\:,\quad U^*U y = \lambda_y y\:, \quad U^*U (x+y) = \lambda_{x+y} (x+y)\:.\tag{1}$ Линейность

U^{*} U

$U^*U$ применяется к последнему тождеству, приводит к

U^{*} U Икс + U^{*} U у "=" λ_{Икс + у} Икс + λ_{Икс + у} у,

$U^*Ux + U^*Uy = \lambda_{x+y}x + \lambda_{x+y}y\:,$ а именно

U^{*} U Икс - λ_{Икс + у} Икс "=" - (U^{*} U у - λ_{Икс + у} у) .

$U^*Ux- \lambda_{x+y}x = -(U^*Uy- \lambda_{x+y}y)\:\:.$ Используя первые два тождества в (1), мы получаем

(λ_{Икс} - λ_{Икс + у}) Икс "=" - (λ_{у} - λ_{Икс + у}) у .

$(\lambda_x- \lambda_{x+y})x = -(\lambda_y- \lambda_{x+y})y\:.$ С

x ⊥ y

$x \perp y$ и

x, y \neq 0

$x,y \neq 0$ , единственная возможность состоит в том, что

λ_{Икс} "=" λ_{Икс + у} "=" λ_{у} .

$\lambda_x = \lambda_{x+y} = \lambda_y\:.$ Итак, пара ортогональных ненулевых векторов имеет одинаковые

λ_{x}

$\lambda_x$ .

В заключение рассмотрим базис Гильберта. $\{x_n\}$ из $H$ так что, если $z\in H$ ,

\begin{matrix} (2) & г "=" \sum_{н} с_{н} {Икс}_{н} \end{matrix}

$z = \sum_n c_n x_n \tag{2}$ для комплексных чисел

c_{n}

$c_n$ . С

U^{*} U

$U^*U$ непрерывен (

U

$U$ ограничен),

\begin{matrix} (3) & U^{*} U г "=" \sum_{н} с_{н} U^{*} U {Икс}_{н} "=" \sum_{н} с_{н} λ_{{Икс}_{н}} {Икс}_{н} \end{matrix}

$U^*Uz = \sum_n c_n U^*Ux_n = \sum_n c_n \lambda_{x_n}x_n\tag{3}$ Но мы знаем из предыдущего рассуждения, что

λ_{x_{n}} = λ_{x_{m}}

$\lambda_{x_n} = \lambda_{x_m}$ так что, указывая с

c

$c$ общее значение

λ_{x_{n}}

$\lambda_{x_n}$ , (3) можно переписать в виде

U^{*} U г "=" \sum_{н} с_{н} с {Икс}_{н} "=" с \sum_{н} с_{н} {Икс}_{н} "=" с г .

$U^*Uz = \sum_n c_n cx_n = c\sum_n c_n x_n = cz\:.$ С

z \in H

$z\in H$ было произвольным, мы обнаружили, что

U^{*} U "=" с я .

$U^*U=c I\:.$ Сопоставляя обе стороны, получаем

c = \bar{c}

$c=\overline{c}$ так что

c

$c$ реально. Окончательно,

0 \leq ⟨ U Икс | U Икс ⟩ "=" ⟨ Икс | U^{*} U Икс ⟩ "=" с ⟨ Икс | Икс ⟩

$0 \leq \langle Ux | Ux\rangle = \langle x| U^*U x\rangle = c \langle x| x \rangle$ так что

c \geq 0

$c\geq 0$ . КЭД

Это хорошо, но делает ли часть «Можно ли доказать, что для одного и того же члена произведение равно 1?» не подразумевает $c=\lambda_x=1$ ?
Я не понимаю, мы и так это знаем $U$ такой $U^*U= cI$ удовлетворяет исходным предположениям и для $c\neq 1$ . Если бы можно было доказать, что $c=1$ мы бы исключили этот случай, который, как мы знаем, существует.
Что-то явно сбивает меня с толку. Я вернусь через пару дней.

Унитарное условие времени

NBit

ZeroTheHero

NBit

ZeroTheHero

Люк

Ответы (1)

Вальтер Моретти

ZeroTheHero

Вальтер Моретти

ZeroTheHero

Почему эволюция времени едина? - Версия с изображением Гейзенберга

Антиунитарный оператор и гамильтониан

Почему преобразования симметрии, связанные с тождеством, обязательно представляются линейными унитарными операторами?

Можно ли любой линейный, но неунитарный «оператор эволюции времени» нормализовать до унитарного?

Диагонализация операторов в квантовой механике

Почему преобразования в квантовой механике линейны?

Почему операторы могут быть представлены в виде матриц в квантовой механике?

Эрмитово сопряжение дифференциального оператора

Как неэрмитова квантовая механика (PT-симметричная КМ) вписывается в физику?

Об определении величины ожидания в квантовой механике