Почему преобразования симметрии, связанные с тождеством, обязательно представляются линейными унитарными операторами?

Ну, дело не в непрерывности репрезентации (если речь идет о непрерывности репрезентации, см. последний комментарий), а в связанном с ней более глубоком факте, касающемся самой группы (хотя какой-то расплывчатый аргумент, основанный также на непрерывности репрезентации, повторяется в литература).

Следует также помнить, что ( теорема Вигнера ) симметрии представляются унитарными/антиунитарными операторами с точностью до фазы . Это согласуется с основным фактом КМ в гильбертовых пространствах, что (чистые) состояния представляются единичными векторами с точностью до произвольной фазы.

Таким образом, группы симметрий представлены картами$G \ni g\mapsto U_g$где

(а)$U_g$определяется с точностью до фазы и

б) требование сохранения групповой структуры ослабляется ($e$является нейтральным элементом$G$):

$$U_e= e^{i\gamma(e)} I\:,\quad U_g U_f =e^{i\gamma(g,f)} U_{g\circ f}$$ для некоторых фаз, связанных с выбором унитарных/антиунитарных операторов $U_h$.

Подчеркну, что, ввиду теоремы Вигнера, унитарный/антиунитарный характер$U_g$зависит от$g$только (если гильбертово пространство имеет размерность больше$1$) итак, оставшаяся неясность в фиксации карты$g \mapsto U_g$касается только произвольной фазы, а не характера оператора$U_g$.

Отображение, удовлетворяющее условиям (а) и (б) (при точном выборе операторов$U_g$) называется унитарным проективным представлением$G$.

В некоторых случаях, особенно когда$G$снабжен дополнительными структурами, такими как группа Ли , можно переопределить операторы$U_g$с помощью подходящих фаз,$U'_g = \omega_g U_g$, чтобы получить стандартное групповое представление

$$U'_e= I\:,\quad U'_g U'_f = U'_{g\circ f}\:.$$ Это сложная когомологическая проблема с важными результатами, такими как теорема Баргмана , я не буду здесь касаться (книга Варадараджана по геометрии КМ включает список важных и очень деликатных результатов в этой области теории представления групп).

Возвращаясь к основному вопросу, рассмотрим группу$G$такой, что каждый элемент$g\in G$можно разложить на произведение$g= h^2 = h\circ h$. Тривиальный, но физически фундаментальный пример:$\mathbb R$как аддитивная группа.

Далее рассмотрим унитарное проективное представление$G \ni g \to U_g$связывая каждый$g$с унитарным/антиунитарным оператором$U_g$.

Отношение$g=h\circ h$, принимая во внимание (b), влечет

$$U_g = e^{i\gamma(h,g)} U_h U_h\:.$$

Неважно, если$U_h$унитарна или антиунитарна, композиция$U_hU_h$унитарна и фазы не играют никакой роли.$U_g$обязательно унитарный здесь!

В частности, всякое унитарное проективное представление$\mathbb R$обязательно состоит из унитарных операторов (даже если фазы не фиксированы и представление не обладает свойством непрерывности). Это одна из отправных точек для формулировки квантовой версии теоремы Нётер .

Подводя итог, если$G$таков, что$g= h^2$для каждого$g\in G$и связанный с ним$h\in G$, то каждое представление вплоть до фаз должно состоять только из унитарных операторов.

Тот же аргумент распространяется и на более сложный случай, когда$g = h_1^2 \circ \cdots \circ h_N^2$.

Теперь рассмотрим группу Ли $G$.

Имеется только один связанный компонент $G_0$которая также является подгруппой Ли, содержащей нейтральный элемент$e$. Например, этот компонент$SU(2)$если вся группа$U(2)$, ортохронная специальная группа Пуанкаре для группы Пуанкаре ,$SO(3)$для$O(3)$, и так далее.

В достаточно небольшом районе$A$(которое можно исправить, чтобы удовлетворить$A=A^{-1}$) из$e$в$G_0$, каждый элемент$g \in A$можно записать как$g = \exp(t T)$для некоторого элемента$T$алгебры Ли$G_0$и немного$t\geq 0$. Поэтому$g= h^2$где$h = \exp((t/2) T)$.

Наконец, как и для всякой топологической связной группы, можно доказать, что$g \in G_0$является произведением конечного числа (в зависимости от$g$) элементов в каждой окрестности$O$нейтрального элемента, так что, взяв$A=O$,

$$g = h_1^2 \circ \cdots \circ h_N^2$$

Поэтому мы можем сделать вывод, что

ТЕОРЕМА. Представление на гильбертовом пространстве размерности$>1$группа лжи$G$в терминах унитарных/антиунитарных операторов с точностью до фаз по теореме Вигнера -- т.е. посредством унитарного проективного представления$G\ni g \mapsto U_g$-- элементы связной компоненты$G$содержащие тождество, могут быть представлены только унитарными операторами.

Антиунитарные операторы могут возникать при представлении полной группы Ли, если она имеет более связной компоненты. В частности, элементы, соединяющие разные компоненты, могут быть (а могут и не быть) представлены антиунитарными операторами. Типичным примером является операция обращения времени в$O(3,1)$который не принадлежит$SO(3,1)_+$.

Возможно, упомянутое Вайнбергом свойство непрерывности относится не к представлению, а к элементам группы. Связный компонент$G_0$включая нейтральный элемент$e$точно состоит из элементов$G$к которому можно подключить$e$с помощью непрерывной кривой элементов$G$.

Теорема Вигнера гласит:

любое преобразование симметрии лучевого пространства представляется линейным и унитарным или антилинейным и антиунитарным преобразованием гильбертова пространства. Представление группы симметрии в гильбертовом пространстве является либо обычным представлением, либо проективным представлением.

Представляется вероятным, что пространство симметрий лучевого пространства распадается на две связные части, одна из которых состоит из унитарных преобразований, а другая — из антиунитарных преобразований. Но это, если честно, переформулировка того, что говорит Вайнберг в показанном отрывке. Фактическое доказательство этого, вероятно, основано на тщательном изучении теоремы Вигнера.

Вот статья Баргмана, доказывающая теорему Вигнера; исходная теорема доказана в книге Вигнера « Теория групп и ее применение к квантовой механике атомных спектров» .