Асимптотические ряды в КТП

В КТП говорят, что перенормированный ряд Дайсона является только асимптотическим. Но чтобы сказать, нужно знать, к какой функции г (константа связи) ряд Дайсона асимптотичен.

Например, предположим, что некоторая амплитуда перехода А ( г ) задается пертурбативно рядом степеней г . Чтобы доказать, что этот ряд асимптотичен к А ( г ) Мне нужно знать значение А ( г ) непертурбативно, но это невозможно, поскольку единственный способ А ( г ) дается серия Dyson.

Есть несколько случаев, когда А ( г ) известен непертурбативно, и в этом случае можно доказать, что ряд действительно асимптотичен. В остальных случаях предполагается, что никакого чуда не приходит на помощь, хотя это определенно не доказательство.
@AccidentalFourierTransform Любые примеры, где А ( г ) известен?
@JamalS, например, нульмерные QFT; Тирринг/Сайн-Гордон; эффективное действие для постоянного электромагнитного поля (см. этот пост PSE ); некоторые суперсимметричные результаты (?);...
@AccidentalFourierTransform: вы забыли скаляр ф 4 модели в 2д и 3д.

Ответы (2)

Предположим, что А ( г ) задается некоторым пертурбативным расширением вокруг г "=" 0 :

А ( г ) "=" ∑ н с н г н .
Тогда утверждение об асимптотике этого разложения означает, что радиус сходимости равен нулю: при фиксированном г , как бы ни был мал, предел
лим Н → ∞ ∑ н < Н с н г н
расходится. Обычно достаточно знать, что н поведение коэффициентов с н установить это. В КТП иногда можно оценить величину с н (например, вы подсчитываете количество диаграмм Фейнмана в н -порядок петли, умноженный на типичный вклад одной диаграммы). Например, если
с н ∼ н !
можно доказать, что ряд асимптотичен. Вы делаете это, используя инструменты, которые вы изучили в математическом анализе (например, тест на отношение).

Обратите внимание, что это действительно быстрорастущая серия: если, например, с н ∼ а н для некоторой константы а , то у вас есть сходимость внутри диска | г | ≤ 1 / а . Поэтому вам нужно даже быстрее, чем экспоненциальный рост с н иметь асимптотический ряд.

Есть еще интересный и неожиданный факт: одно и то же асимптотическое разложение может аппроксимировать две разные функции. В КТП это соответствует возможности существования неэквивалентных непертурбативных теорий, согласующихся с одной и той же теорией возмущений.

По теореме Бореля-Ритта любой (формальный) степенной ряд ∑ н "=" 0 ∞ с н г н является асимптотическим разложением в нуле некоторого С ∞ функция А ( г ) . Конечно, последний очень не уникален. Вы подняли хороший вопрос о том, что это А ( г ) что ряд должен быть асимптотическим ? или поскольку мы знаем о существовании А ( г ) , вопрос скорее в том, что правильно А ( г ) ? т.е. нужна некоторая уникальность, путем наложения каких-то дополнительных условий. Известно, что для скалярных полей в 2d и 3d ( ф 4 модели) пертурбативный ряд имеет нулевой радиус сходимости, но также асимптотичен к непертурбативному определению А ( г ) полученные с помощью жестких оценок конструктивной квантовой теории поля. Более того, непертурбативное А ( г ) является борелевской суммой (умеренно) перенормированного пертурбативного ряда. Это один из способов восстановления уникальности. Две ссылки на это

  1. Экманн, Магнен, Сенеор, "Свойства затухания и суммируемость по Борелю для функций Швингера в п ( Φ ) 2 теории» , CMP 1975.
  2. Магнен, Сеньор, «Расширение фазовой пространственной ячейки и борелевская суммируемость для евклидовой ф 3 4 теория» , CMP 1977.
@AccidentalFourierTransform: это довольно ясно из контекста, но я все равно добавил слово «формальный».
Конечно, это понятно, но эй, не помешает быть точным (хотя, надо признать, немного педантичным). Не все знают так много, как вы; одно слово может помочь.
Танк вам так много для информации. Существуют ли непертурбативные оценки даже для более реалистичных КТП, таких как КЭД и КХД?
У меня была бы еще одна проблема, связанная с предыдущей: я не понимаю, почему переход к высоким пертурбативным порядкам (высокие степени g) также ведет к большим виртуальным энергиям (Фолланд «QFT: туристический путеводитель для математиков», стр. 253: « ... диаграммы Фейнмана высокого порядка в КЭД описывают электромагнитные процессы с участием большого количества виртуальных частиц и, следовательно, больших виртуальных энергий ...». Даже диаграмма Фейнмана только с одной петлей подразумевает произвольно большие энергии по отношению к виртуальной частице.
@SergioDenti: «более реалистичный» подразумевает, что ф 4 скалярные модели типа нереалистичны, что является довольно вводящим в заблуждение утверждением. С 2012 года мы знаем, что в природе есть частица, описываемая скалярным полем. Для КЭД в 3d см. эту статью Димока и ссылки в ней arxiv.org/abs/1512.04373 для Янга-Миллса в 4d с группой SU(2) см. эту статью projecteuclid.org/euclid.cmp/1104253284 и процитированную там работу Балабана. По-видимому, те же самые методы должны работать для SU(3), т.е. КХД.
Асимптотические ряды в КТП
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v