Пересуммирование ренормализационной группы

У меня возникли проблемы с пониманием математической особенности РГ, а именно того, как она позволяет суммировать ряд возмущений и как это определяется математически.

С концептуальной точки зрения поток РГ применяется к «теории» по шкале$\Lambda$вплоть до энергетической шкалы$\mu$а затем перепараметризирует его с конечным набором параметров, более подходящих для описания физики в этом масштабе энергии (перенормировка)$\{g^i_R(\mu)\}_{i=1........N}$, физика должна быть независимой от выбранной нами параметризации или, что то же самое, она должна быть независимой от шкалы энергии$\mu<<\Lambda$который определяет параметризацию, поэтому при заданном наборе наблюдаемых$\{O_i\}_{i=1......M}$он должен выполняться (около фиксированной точки, где можно диагонализовать РГ):

($log\ \mu$производная, поэтому мы не вводим никакой новой энергетической шкалы) Теперь, если мы вычислим возмущающе$\beta=\sum_n g^n\alpha_n\approx -\alpha g^2$мы получаем :

Кроме того, рассмотрим$O_i(p/\mu,g(\mu))=\sum_n g^n(\mu)\Omega_n(p/\mu)$чтобы получить пересуммирование, ряд теории возмущений должен быть переопределен в терминах нового параметра разложения$g(\mu')=g_p=f(g(p),p/\mu)$куда$f$является точным выражением уравнения РГ, таким что (используя РГ-инвариантность физических величин):

Теперь моя проблема заключается в том (при условии, что то, что я сказал ранее, верно, и я извиняюсь за длинную предпосылку), как работает это переопределение пертурбативного ряда? т.е. почему, если я вычисляю$\beta(g)$для нескольких терминов я получаю полное резюме ведущих, подчиненных, подчиненных ведущих терминов и так далее? Есть ли способ определить эти концепции пересуммирования и переопределения пертурбативного ряда ясным и точным способом, который затем можно было бы применить к этому конкретному случаю?

РЕДАКТИРОВАТЬ: Спасибо octonion за хороший ответ, который прояснил половину моего вопроса. то есть как учитывая$\beta$функцию можно частично возобновить$f$.