Есть ли какое-нибудь доказательство того, что любой результат теории возмущений обязательно представляет собой асимптотический ряд?

Я знаю, что почти все ряды теории возмущений расходятся, например, ряды из проблем собственных значений или S-матрицы в квантовой теории поля. Известно, что ряды являются асимптотическими рядами. Однако как доказать, что ряды асимптотичны исходным решениям? Вероятно, можно было бы использовать некоторую технику пересуммирования, чтобы построить функцию, которая имеет желаемый асимптотический ряд (согласно лемме Бореля-Ритта). Однако при каких условиях функция, построенная методом пересуммирования, например суммированием по Борелю, совпадает с исходным решением? Спасибо!

Трудно сказать, потому что вообще не существует «оригинального решения» — нет удовлетворительного/строгого непертурбативного определения КТП. Предполагается , что пертурбативный ряд асимптотичен для некоторого непертурбативного объекта, но нет реальной причины предполагать, что такой объект действительно существует. Надежда есть, но не более того.
Как насчет обычного бакалавриата по квантовой механике? Есть ли какие-либо доказательства или контрпримеры в этой настройке?

Ответы (1)

Аргумент, о котором я знаю, довольно эвристичен, но в основном работает следующим образом. В заказе н в пертурбативном разложении примерно н ! количество графов Фейнмана. Предполагая, что все они вносят примерно одинаковый вклад в амплитуду, коэффициент О ( λ н ) термин О ( н ! ) . Это означает, что пертурбативная сумма имеет вид

А "=" ∑ н "=" 0 ∞ λ н н ! с н , с н "=" О ( 1 ) .
Такая сумма, вообще говоря, асимптотична.

Конечно, это очень эвристический аргумент, и его легко можно обойти, создав особые (хотя и не редкие) обстоятельства. Например, в суперсимметричных теориях все еще существуют н ! факториальные графы в каждом порядке, но фермионные диаграммы часто сокращают бозонные, так что с н больше не О ( 1 ) и ряд можно суммировать.

Асимптотические ряды часто являются результатом изменения порядков сумм и интегралов, например интеграла по путям и суммы для разложения опыт ⁡ ( я С ) . Можем ли мы сказать что-то конкретное по этому поводу?
Я имею в виду, что в теории возмущений мы меняем порядок суммы и интеграла там
Можно ли показать, что А ( λ ) удовлетворяет определению асимптотического ряда ? Это значит А ( λ ) − ∑ н "=" 0 н "=" Н − 1 λ н н ! с н "=" О ( λ Н ) для всех Н когда λ . Другими словами, асимптотический ряд сходится при любом фиксированном Н в пределе λ → 0 .
Есть ли какое-нибудь доказательство того, что любой результат теории возмущений обязательно представляет собой асимптотический ряд?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v