Экспоненциальный распад пропагатора Фейнмана вне светового конуса

В третьей главе (I.3) книги А. Зи « Кратко о квантовой теории поля» автор выводит пропагатор Фейнмана для скалярного поля:

$$\begin{aligned} D(x)&=\int \frac{\operatorname{d}^4 \mathbf{k}}{(2\pi)^4} \frac{e^{ikx}}{k^2-m^2+i\epsilon} \\ &=-i\int \frac{\operatorname{d}^3 \mathbf{k}}{(2\pi)^3 2\omega_k} \left[e^{-i(\omega_kt-\mathbf{k}\cdot \mathbf{x})}\theta(t)+ e^{i(\omega_kt-\mathbf{k}\cdot \mathbf{x})}\theta(-t)\right] \end{aligned}$$ где $\omega_k=\sqrt{\mathbf{k}^2+m^2}$.

Не проработав через$\mathbf{k}$интеграла, поведение пропагатора для событий внутри и вне светового конуса можно грубо проанализировать (по крайней мере, так говорится в тексте): для времениподобных событий в будущем конусе, например,$x=(t,\mathbf{x}=0)$, с$t>0$, пропагатор представляет собой сумму плоских волн

$$D(t,0)=-i\int \frac{\operatorname{d}^3 \mathbf{k}}{(2\pi)^3 2\omega_k} e^{-i\omega_kt}$$ Аналогично, для времениподобных событий в конусе прошлого ( $t<0$) пропагатор представляет собой сумму плоских волн с противоположной фазой.

Теперь для космических событий, например,$x=(0,\mathbf{x})$, после интерпретации$\theta(0)=\frac{1}{2}$и наблюдение за пропагатором позволяет произвести обмен$\mathbf{k}\rightarrow -\mathbf{k}$, мы получаем

$$D(0,\mathbf{x})=-i\int \frac{\operatorname{d}^3 \mathbf{k}}{(2\pi)^3 2\sqrt{\mathbf{k}^2+m^2}} e^{-i\mathbf{k}\cdot \mathbf{x}}$$

Затем автор заявляет, что «... вырезание квадратного корня, начиная с$\pm im$приводит к экспоненциальному спаду$\sim e^{-m|\mathbf{x}|}$, как мы и ожидали. Читателю предоставляется проверить это как более позднюю проблему.

Вопрос в следующем: как я могу увидеть, что вышеизложенное верно, не проходя через$\mathbf{k}$интеграл?

Во-вторых, что означает «квадратный корень, начиная с$\pm im$Я знаю, что комплексный квадратный корень должен быть снабжен разрезом, но этот разрез должен быть целым лучом плоскости, а не только отрезком.

Я попытался пройти через интеграл; вращая$\mathbf{k}$так что$\mathbf{x}$точки вдоль$k^3$направление и переход к сферическим координатам ($k=|\mathbf{k}|, x=|\mathbf{x}|$) интеграл принимает вид:

$$\begin{aligned} D(0,\mathbf{x})&=-i\int_0^\infty \operatorname{d}k \int_0^\pi \operatorname{d}\theta \int_0^{2\pi} \operatorname{d}\varphi \left( \frac{k^2 \sin{\theta}e^{-i kx\cos{\theta}}}{(2\pi)^3 2\sqrt{k^2+m^2}} \right)\\ &=-i\int_0^\infty \operatorname{d}k \int_0^\pi \operatorname{d}\theta \left( \frac{k^2 \sin{\theta}e^{-i kx\cos{\theta}}}{(2\pi)^2 2\sqrt{k^2+m^2}} \right)\\ &=\frac{-i}{(2\pi)^2}\int_0^\infty \operatorname{d}k \left( \frac{k}{2ix\sqrt{k^2+m^2}}\right)e^{ikx}-e^{-ikx}\\ &=\frac{-i}{(2\pi)^2}\int_0^\infty \operatorname{d}k \frac{k\sin{kx}}{x\sqrt{k^2+m^2}}\sim \frac{1}{|\mathbf{x}|} \end{aligned}$$ Что не является желаемым результатом.