Контурный интеграл пропагатора Фейнмана

Question

Контурный интеграл пропагатора Фейнмана

ocf001497

Сейчас я читаю лекцию Дэвида Тонга по квантовой теории поля.

У меня есть несколько вопросов о контуре, используемом в интеграле

\int \frac{г^{4} п}{(2 π)^{4}} \frac{я}{(п^{0})^{2} - п^{2}} е^{- я п (Икс - у)}

$\begin{equation} \int \frac{d^{4}p}{(2\pi)^{4}} \frac{i}{(p^{0})^{2} - {\bf p}^{2}} e^{-ip(x-y)} \end{equation}$ где

p (x - y) = p^{0} (x^{0} - y^{0}) - p \cdot (x - y)

$p(x-y) = p^{0}(x^{0}-y^{0}) - {\bf p} \cdot \left({\bf x}- {\bf y}\right)$ .

Чтобы вычислить интеграл, мы можем фактически выбрать 4 разных пути. И контур, который мы выберем для фейнмановского пропагатора, будет

в зависимости от того, $x^{0}$ больше, чем $y^{0}$ .

Теперь я хочу вычислить интеграл

\int \frac{г п^{0}}{2 π} \frac{я}{(п^{0})^{2} - Е_{п}^{2}} е^{- я п^{0} ({Икс}^{0} - у^{0})}

$\begin{equation} \int \frac{d{p^{0}}}{2\pi} \frac{i}{(p^{0})^2 - E_{\bf p}^{2}} e^{-ip^{0}(x^{0}-y^{0})} \end{equation}$

Но у меня есть некоторые вопросы на пути и ответ, который я ищу.

Позволим ли мы в конечном итоге радиусу полуокружности интегрального пути $C_{1}$ и $C_{2}$ $\to 0$ ?
Для $x^{0} < y^{0}$ Интеграл полного контура можно разложить на
$\int_{л_{1}} + \int_{С_{1}} + \int_{л_{2}} + \int_{С_{2}} + \int_{л_{3}} + \int_{С_{3}} "=" 2 π я р е с (г "=" + Е_{п})$ $\begin{equation} \int_{L_1} + \int_{C_{1}} + \int_{L_2} + \int_{C_{2}} + \int_{L_{3}} + \int_{C_{3}} = 2\pi i Res(z=+E_{\bf p}) \end{equation}$ И так как $C_{3}$ путь выбирается таким образом, что когда мы делаем радиус $C_{3} \to \infty$ затем $\int_{C_{3}} \to 0$ мы будем игнорировать его в дальнейшем.

Теперь мне интересно, какое значение мы хотим

(1)

\begin{aligned} \int \frac{г п^{0}}{2 π} \frac{я}{(п^{0})^{2} - Е_{п}^{2}} е^{- я п^{0} ({Икс}^{0} - у^{0})} & "=" \int_{л_{1}} + \int_{С_{1}} + \int_{л_{2}} + \int_{С_{2}} + \int_{л_{3}} \\ "=" 2 π я р е с (г "=" + Е_{п}) \end{aligned}

$\begin{align} \int \frac{d{p^{0}}}{2\pi} \frac{i}{(p^{0})^2 - E_{\bf p}^{2}} e^{-ip^{0}(x^{0}-y^{0})} & = \int_{L_1} + \int_{C_{1}} + \int_{L_2} + \int_{C_{2}} + \int_{L_{3}} \\ & = 2\pi i Res(z=+E_{\bf p}) \end{align}$ или

(2)

\begin{aligned} \int \frac{г п^{0}}{2 π} \frac{я}{(п^{0})^{2} - Е_{п}^{2}} е^{- я п^{0} ({Икс}^{0} - у^{0})} & "=" \int_{л_{1}} + \int_{л_{2}} + \int_{л_{3}} \\ "=" 2 π я р е с (г "=" + Е_{п}) - \int_{С_{1}} - \int_{С_{2}} \\ ж я т час р \to 0 \end{aligned}

$\begin{align} \int \frac{d{p^{0}}}{2\pi} \frac{i}{(p^{0})^2 - E_{\bf p}^{2}} e^{-ip^{0}(x^{0}-y^{0})} &= \int_{L_1} + \int_{L_2} + \int_{L_{3}} \\ & = 2\pi i Res(z=+E_{\bf p}) - \int_{C_{1}} - \int_{C_{2}} \\ & \ with\ \rho \to 0 \end{align}$

Причина, по которой я запутался, заключается в том, что если мы решим оценить (2) с помощью $\rho \to 0$ затем $\int_{C_{1}}$ и $\int_{C_{2}}$ имеют некоторое ненулевое значение (из-за простого полюса в $E_{\bf p}$ и $-E_{\bf p}$ ) и не могут отменить друг друга. И это сделает ответ, который я получаю, отличным от случая (1).

Поэтому мне интересно, какой из них я должен рассчитать, (1) или (2)?

Ответы (3)

Контурный интеграл пропагатора Фейнмана

Костас · Answer 1

С фейнмановским и*эпсилоном гораздо проще отклонить полюса от действительной оси. Тогда интегрирование может остаться прямо на реальной линии, и вам не нужно будет рисовать C1 и C2. Если вы нарисуете их так, как вы это сделали, тогда да, вам нужно будет их уменьшить и рассчитать вклады полукругов, поскольку они не сокращаются. Это полукруги, идущие в противоположных направлениях вокруг полюсов с противоположным остатком, поэтому каждый из них вносит +i*pi для +2*i*pi в сумме и, очевидно, одинаков в обоих случаях. Линейные интегралы L1, L2 и L3 равны нулю!

В способе Фейнмана, и именно так большинство физиков быстро получают ответ, не вычисляя каждый раз шесть сегментов, мы просто помним, что ответ таков: остаток любого полюса внутри контура равен интегралу, который мы хотеть. Для $x0<y0$ вы захватываете полюс в точке z=-Ep, двигаясь против часовой стрелки, и для $x0>y0$ вы захватываете полюс в точке z=+Ep, двигаясь по часовой стрелке. Значение невязки противоположно при z=-Ep и +Ep, поэтому ответ одинаков.

Между прочим, в одной старой книге QFT утверждается, что есть семь неэквивалентных способов обойти два полюса...

Футуролог · Answer 2

Вы должны взять (1) и позволить $\rho \to 0$ , потому что в (2) в пределе вы получаете интеграл по вещественной линии за вычетом двух точек $\pm E_p$ , а это не то, что вам нужно (и, как вы заметили, два интеграла после вычета не исчезают, потому что они несут ценную информацию). В (1) контур непрерывный (непрерывный) и $\rho \to 0$ грубо говоря, это гомотопия (непрерывная деформация петель/контуров) от исходного контура (на ваших картинках) до всей реальной линии. Это то, что вам нужно, потому что значения интегралов голоморфных (комплексно-аналитических) функций не меняются при гомотопиях, т. е. значение интеграла остается одним и тем же при $\rho \to 0$ при этом контуры деформируются.

точка · Answer 3

Это также вызвало у меня некоторую путаницу, потому что я тоже пытался вычислить вклады $\int_{C_1}$ , $\int_{C_2}$ чтобы определить интеграл по действительной оси (что так часто является целью упражнений в курсах со сложными переменными).

Ключевым моментом является то, что пропагатор $\Delta_F(x-y)$ определяется (Тонгом) как весь интеграл

\int \frac{г^{4} п}{(2 π)^{4}} \frac{я}{(п^{0})^{2} - п^{2}} е^{- я п (Икс - у)}

$\begin{equation} \int \frac{d^{4}p}{(2\pi)^{4}} \frac{i}{(p^{0})^{2} - {\bf p}^{2}} e^{-ip(x-y)} \end{equation}$ В частности, интеграл по

p^{0}

$p^0$ не (главное значение) интеграла вдоль действительной оси (что было бы (2)) а весь контур, таким образом, в случае

x^{0} < y^{0}

$x^0<y^0$ всегда принимает значение

2 π i Res (p^{0} = + E_{p})

$2\pi i \text{Res}\left(p^0=+E_p\right)$ , по теореме о вычетах. Вам вообще не нужно учитывать части контура с отступом (т.е. (1) - это то, что вам нужно).

Контурный интеграл пропагатора Фейнмана

ocf001497

Ответы (3)

Костас

Футуролог

точка

Как понять, почему массивные поля экспоненциально затухают с расстоянием?

Экспоненциальный распад пропагатора Фейнмана вне светового конуса

Интегрирование e−itp2+m2√e−itp2+m2e^{-it\sqrt{\mathbf{p}^2 + m^2}} для амплитуды QM

Интеграл мягких фотонов Вайнберга

Представление спектра течений Дирака

Сложный лагранжиан — проверка правил Фейнмана

Понимание функции Евклида Грина

Получение фотонного пропагатора

Бит поляков в пропагаторе

Вычисление функции Грина теории взаимодействующего поля