Вик-вращение преобразования Фурье µ+1µ+1\mu+1 пропагаторов

Question

Вик-вращение преобразования Фурье µ+1µ+1\mu+1 пропагаторов

Физика
распространитель
интеграция
вращение фитиля
зеленые функции
квантовая теория поля

QuantumEyedea

В уравнении (8) этой статьи Groote et. al., нам дано следующее евклидово тождество:

\begin{matrix} (8) & \int \frac{д^{4} п_{Е}}{(2 π)^{4}} \frac{е^{я п_{Е} \cdot {Икс}_{Е}}}{{(| п_{Е} |^{2} + м^{2})}^{мю + 1}} "=" \frac{1}{4 π^{2}} \frac{1}{2^{мю} Г (мю + 1)} {(\frac{м}{| {Икс}_{Е} |})}^{1 - мю} К_{1 - мю} (м | {Икс}_{Е} |) . \end{matrix}

$\int \frac{d^{4}\mathbf{p}_{\mathrm{E}}}{(2\pi)^{4}} \frac{e^{ i \mathbf{p}_{\mathrm{E}} \cdot \mathbf{x}_{\mathrm{E}} }}{ \left( |\mathbf{p}_{\mathrm{E}}|^2 + m^2 \right)^{\mu + 1}} \ = \ \frac{1}{4 \pi^2} \frac{1}{2^{\mu} \Gamma(\mu + 1)} \left( \frac{m}{|\mathbf{x}_{\mathrm{E}}|} \right)^{1 - \mu} K_{1 - \mu}\big( m |\mathbf{x}_{\mathrm{E}}| \big). \tag{8}$

Приведенное выше тождество выполняется в евклидовом пространстве, где $\mathbf{p}_{\mathrm{E}} = (\mathbf{p}, p_4)$ и так далее. Я должен сказать, что $K_{\nu}(x)$ — модифицированная функция Бесселя второго рода (функция Макдональда) порядка $\nu$ .

Я почти уверен, что могу просто заменить приведенные выше векторы их аналогами Минковского, что означает поставить $\mathbf{p}_{\mathrm{E}} \mapsto p = (p_0, \mathbf{p})$ где $p_0 = i p_4$ , что дает тождество Минковского:

\int \frac{д^{4} п}{(2 π)^{4}} \frac{е^{я п \cdot Икс}}{{(п^{2} + м^{2})}^{мю + 1}} "=" \frac{1}{4 π^{2}} \frac{1}{2^{мю} Г (мю + 1)} {(\frac{м}{\sqrt{{Икс}^{2}}})}^{1 - мю} К_{1 - мю} (м \sqrt{{Икс}^{2}}) .

$\int \frac{d^{4}p}{(2\pi)^{4}} \frac{e^{ i p \cdot x }}{ \left( p^2 + m^2 \right)^{\mu + 1}} \ = \ \frac{1}{4 \pi^2} \frac{1}{2^{\mu} \Gamma(\mu + 1)} \left( \frac{m}{\sqrt{x^2} } \right)^{1 - \mu} K_{1 - \mu}\big( m \sqrt{x^2} \big).$

Но я не знаю, как именно это доказать. Как это сделать?

Мои мысли состояли в том, чтобы начать с евклидова тождества, отметить вращательную инвариантность и выбрать вектор $\mathbf{x}_{\mathrm{E}} = ( |\mathbf{x}_{\mathrm{E}}|, 0, 0, 0 )$ . Может быть, тогда это позволяет вращение фитиля в $p_4$ переменной, но я не уверен, как именно действовать, поскольку это евклидово тождество не имеет ' $i\epsilon$ регулятор, и поэтому $p_4$ полюса лежат прямо на оси, где мы интегрируем.

Ответы (1)

Вик-вращение преобразования Фурье µ+1µ+1\mu+1 пропагаторов

Джон Донн · Answer 1

Позволять

я_{мю} "=" \int \frac{д^{4} п}{(2 π)^{4}} \frac{е^{я п Икс}}{(п^{2} + м^{2})^{мю + 1}}

$I_\mu = \int\,\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{e^{ipx}}{(p^2+m^2)^{\mu+1}}$ Дифференцируя, получаем следующее тождество:

я_{мю + 1} "=" - \frac{1}{2 м (мю + 1)} \frac{\partial я_{мю}}{\partial м}

$I_{\mu+1} =-\frac{1}{2m(\mu+1)}\frac{\partial I_\mu}{\partial m}$

$I_0$ функция Грина для уравнения Клейна-Гордона в пространстве-времени с сигнатурой $(-+++)$ . У этого есть два полюса; выполняя интегрирование по рецепту Фейнмана и полагая $x$ времяподобно,

я_{0} "=" \underset{ϵ \to 0}{лим} \int \frac{д^{4} п}{(2 π)^{4}} \frac{е^{я п Икс}}{п^{2} + м^{2} + я ϵ} "=" - \frac{м}{8 π \sqrt{- {Икс}^{2}}} {ЧАС}_{1}^{(2)} (м \sqrt{- {Икс}^{2}})

$I_0 = \lim_{\epsilon\to 0} \int\,\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{e^{ipx}}{p^2+m^2+i\epsilon}=-\frac{m}{8\pi\sqrt{-x^2}}H_1^{(2)}(m\sqrt{-x^2})$ где

H_{1}^{(2)}

$H_1^{(2)}$ является функцией Ганкеля. В случае космоподобных

x

$x$ , вы получите модифицированную функцию Бесселя второго рода.

Обе функции Бесселя первого и второго рода удовлетворяют следующему тождеству. С $H^{(2)}$ является линейной комбинацией этих двух, она также удовлетворяет тождеству:

\frac{д}{д г} [г^{ν} {ЧАС}_{ν}^{(2)} (г)] "=" г^{ν} {ЧАС}_{ν - 1}^{(2)} (г)

$\frac{d}{dz}[z^\nu H^{(2)}_\nu(z)]=z^\nu H^{(2)}_{\nu-1}(z)$ Взглянув на евклидово тождество, можно догадаться о следующем выражении:

я_{мю} "=" \frac{1}{8 π} \frac{1}{2^{мю} мю!} {(\frac{- м}{\sqrt{- {Икс}^{2}}})}^{1 - мю} {ЧАС}_{1 - мю}^{(2)} (м \sqrt{- {Икс}^{2}})

$I_\mu = \frac{1}{8\pi} \frac{1}{2^\mu \mu!} \left(\frac{-m}{\sqrt{-x^2}}\right)^{1-\mu} H^{(2)}_{1-\mu}(m\sqrt{-x^2})$ что можно доказать по индукции.

Напротив, для космоподобных $x$ один получает

я_{0} "=" \underset{ϵ \to 0}{лим} \int \frac{д^{4} п}{(2 π)^{4}} \frac{е^{я п Икс}}{п^{2} + м^{2} + я ϵ} "=" \frac{я м}{4 π^{2} \sqrt{{Икс}^{2}}} К_{1} (м \sqrt{{Икс}^{2}})

$I_0 = \lim_{\epsilon\to 0} \int\,\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{e^{ipx}}{p^2+m^2+i\epsilon}=\frac{im}{4\pi^2\sqrt{x^2}}K_1(m\sqrt{x^2})$ что приводит к решению

я_{мю} "=" \frac{1}{4 π^{2}} \frac{1}{2^{мю} мю!} {(\frac{- м}{\sqrt{- {Икс}^{2}}})}^{1 - мю} К_{1 - мю} (м \sqrt{- {Икс}^{2}})

$I_\mu = \frac{1}{4\pi^2} \frac{1}{2^\mu \mu!} \left(\frac{-m}{\sqrt{-x^2}}\right)^{1-\mu} K_{1-\mu}(m\sqrt{-x^2})$ снова доказывается по индукции.

Спасибо за ваши мысли. Есть тонкая вещь, иллюстрированная для $\mu = 0$ в этом $\lim\limits_{\epsilon \to 0^{+}}\frac{1}{p^2+m^2+i \epsilon} = \mathscr{P}\frac{1}{p^2 +m^2} - i \pi \delta(p^2+m^2)$ . я полагаю, что $-\frac{m}{8\pi \sqrt{-x^2}}H_{1}^{(2)}(m\sqrt{-x^2})$ является частью интеграла, вытекающей из $\mathscr{P}$ , и у нас должна получиться дельта светового конуса $+\frac{1}{4\pi }\delta( -x^2 )$ добавлено в вашу формулу. Меня смущает роль дельты - я думаю, что для общего $\mu$ , у нас есть коэффициент $+\frac{(-1)^\mu}{4\pi \Gamma(\mu-1)} \delta^{(\mu)}(-x^2)$ добавлен...
@Greg.Paul Дельта равна 0, если только $x^2 =0$ . Я предположил $x$ времениподобна, поэтому $x^2<0$

Вик-вращение преобразования Фурье µ+1µ+1\mu+1 пропагаторов

QuantumEyedea

Ответы (1)

Джон Донн

QuantumEyedea

Джон Донн

Корреляционная функция и квадривекторы, как упростить тройной интеграл?

Интуиция для пропагаторов со спином 1/2 и 1

Теория поля Мацубары - что означает мнимое время ττ\tau в G(τ,x)G(τ,x)G(\tau,\mathbf{x})?

Функциональная производная для одной и той же функции, выраженная до и после поворота Вика

Вычисление функции Грина теории взаимодействующего поля

Как интерпретировать корреляционные функции в QFT?

Аналитическое продолжение функции Грина мнимого времени во временной области

Физическая интерпретация запаздывающих и фейнмановских пропагаторов?

Почему функция Грина будет расходиться в одной и той же точке пространства-времени?

Расходящиеся интегралы в КТП