Бесконечные и конечные квадратные колодцы

Укороченная версия:

В бесконечной потенциальной яме$E \geq 0$(так как$V_{min}=0$, и$E \geq V_{min}$). В вашей конечной потенциальной яме это звучит так, как будто вы ищете связанные состояния, и в этом случае$E < 0$, так что вы поглощаете негатив в квадратный корень.

Длинная версия:

Когда вы решаете проблему QM, сначала вы должны выяснить допустимость связанных состояний и состояний рассеяния. Если энергия частицы меньше потенциала при$-\infty$и$+\infty$, то у вас есть связанные состояния. Например, бесконечная квадратная яма допускает только решения в связанном состоянии. Конечная потенциальная яма может допускать как состояния рассеяния, так и связанные состояния в зависимости от энергии (обычно$V(\pm \infty) = 0$в конечной потенциальной яме, так что если$E < 0$это связанное состояние, и если$E > 0$это рассеянное состояние).

Как только вы объявите, ищете ли вы связанные или рассеянные состояния, у вас будет представление о том, где находится ваша энергия. В конечной квадратной яме с$V(\pm \infty) = 0$, если вы ищете связанные состояния, то вы знаете$E < 0$. Поэтому, чтобы сделать математику как можно более простой, имеет смысл поместить минус в квадратный корень, чтобы аргумент был положительным.

В бесконечном квадратном колодце вы знаете, что все состояния связаны, потому что$V(\pm\infty)=\infty$. Таким образом, мы должны обратиться в другом месте, чтобы получить ограничение на энергию. Мы знаем это$E \geq V_{min}$(иначе волновая функция не может быть нормирована, см. проблему 2.2 КМ Гриффита). С$V_{min}=0$, затем$E \geq 0$. Следовательно, мы не должны поглощать отрицательные значения квадратным корнем, чтобы аргумент оставался положительным.

Единственное, что действительно важно, это дифференциальное уравнение. Ситуация вне колодца в обоих случаях:

$\dfrac{d^2 \psi}{dx^2}= - \frac{2mE}{\hbar^2} \psi$

Теперь фундаментальное замечание, что для связанных состояний E<0, поэтому мы можем написать:$E=-|E|$и ск. уравнение становится:

$\dfrac{d^2 \psi}{dx^2}= + \frac{2m|E|}{\hbar^2} \psi$

Таким образом, обычный способ решить эту проблему - установить$k= \sqrt{\frac{2m|E|}{\hbar^2}}>0$, теперь корни дифференциального уравнения равны$\pm k$и общее решение:

$\psi=Ae^{+kx}+Be^{-kx}$

Вместо этого вы можете решить проблему следующим образом:

$\dfrac{d^2 \psi}{dx^2}= - \frac{2mE}{\hbar^2} \psi$

(без явного абсолютного значения)

теперь поставь$\alpha= \sqrt{- \frac{2mE}{\hbar^2}}$так:

$\dfrac{d^2 \psi}{dx^2}= \alpha^2 \psi$

Решение (как указано выше):

$\psi=Ae^{+\alpha x}+Be^{-\alpha x}$

И теперь вы можете поставить показатель степени$E=-|E|$(связанные состояния):

$\alpha= \sqrt{- \frac{2mE}{\hbar^2}}=\sqrt{+ \frac{2m|E|}{\hbar^2}}=k$

Наконец-то:$\psi=Ae^{+\alpha x}+Be^{-\alpha x}=Ae^{+k x}+Be^{-k x}$

Решения (очевидно) одинаковы для двух разных способов (идея состоит только в том, чтобы сразу указать абсолютное значение, а в другом случае сделать это в конце).