Потенциальное рассеяние скважин

Question

Потенциальное рассеяние скважин

K_инверсия

Рассмотрим потенциальную скважину $V(x)$ данный

\begin{aligned} В (Икс) "=" {\begin{cases} 0 & Икс < 0 \\ - В_{0} & 0 < Икс < л \\ 0 & Икс > л \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} V(x) = \begin{cases} 0 \qquad &x < 0 \\ -V_{0} \qquad & 0 < x < L \\ 0 \qquad &x > L \end{cases} \end{align}$ где

V_{0} > 0

$V_{0} > 0$ . Свободная частица с энергией

E > 0

$E > 0$ инцидент слева. Меня попросили вывести коэффициент передачи

T

$T$ данный

\begin{aligned} Т "=" [1 + \frac{В_{0}^{2}}{4 Е (Е + В_{0})} {грех}^{2} (\frac{л}{ℏ} \sqrt{2 м (Е + В_{0})})]^{- 1} \end{aligned}

$\begin{align} T = \Bigg[ 1 + \frac{V_{0}^{2}}{4E(E+V_{0})} \sin^{2} \Bigg( \frac{L}{\hbar} \sqrt{2m(E+V_{0})} \Bigg) \Bigg]^{-1} \end{align}$ и я могу вывести его.

Мой вопрос заключается в том, что когда потенциальная яма имеет очень большую глубину (т.е. $V_{0} \to \infty$ ), у нас есть $T \to 0$ из приведенного выше выражения. Это кажется очень нетривиальным, потому что потенциальная яма должна очень сильно притягивать частицу, когда $V_{0} \to \infty$ . Есть ли какое-то физическое объяснение такому поведению $T$ ?

Валерио

Почему ты это сказал

lim_{V_{0} \to \infty} T = 0

$\lim_{V_0 \to \infty} T = 0$ ?

Сэмми Песчанка

Возможный дубликат Прозрачности бесконечного квадратного колодца?

K_инверсия

Потому что на свободе

V_{0}

$V_{0}$ , коэффициент перед

\sin^{2}

$\sin^2$ в порядке

V_{0}

$V_{0}$ и

\sin^{2}

$\sin^2$ ограничен. Следовательно, все выражение стремится к нулю.

Ответы (1)

Потенциальное рассеяние скважин

Почему ты это сказал $\lim_{V_0 \to \infty} T = 0$ ?
Возможный дубликат Прозрачности бесконечного квадратного колодца?
Потому что на свободе $V_{0}$ , коэффициент перед $\sin^2$ в порядке $V_{0}$ и $\sin^2$ ограничен. Следовательно, все выражение стремится к нулю.

Валерио · Answer 1

На самом деле нетрудно увидеть, что $T=1$ в любое время

\frac{л}{ℏ} \sqrt{2 м (Е + В_{0})} "=" н π н е Н

$\frac{L}{\hbar} \sqrt{2m(E+V_0)}=n \pi \ \ \ n \in \mathbb N$

Вы можете увидеть представление о $T(V_0)$ ниже, с $E=1$ и $L \sqrt{2m}/\hbar=1$ (это просто для качественного представления, поэтому мы не заботимся о единицах измерения).

Интересно, что энергии, соответствующие полной передаче, равны

Е_{н} + В_{0} "=" \frac{(н π ℏ)^{2}}{2 м л^{2}} н е Н

$E_n +V_0= \frac{(n \pi \hbar)^2}{2 m L^2} \ \ \ n \in \mathbb N$

которые в точности равны энергиям, соответствующим связанным состояниям бесконечной квадратной ямы.

Цитируя Р. В. Робинетта, «Квантовая механика» , глава 11:

Этот эффект легко понять в волновых терминах как результат полной деструктивной интерференции между волнами, рассеянными на первой «ступеньке» (у которой есть изменение фазы при отражении) и на второй (у которой изменение фазы отсутствует)

Обновлять

Верно то, что среднее значение $T$ рассчитывается в интервале $[0, V]$ уменьшается с увеличением длины интервала $V$ . В этом можно убедиться, численно оценив

\bar{Т} (В) "=" \frac{1}{В} \int_{0}^{В} Т (В_{0}) г В_{0}

$\bar T (V) = \frac 1 V \int_0^V T(V_0) d V_0$

Очевидно, что

\underset{В \to \infty}{лим} \bar{Т} (В) "=" \underset{В \to \infty}{лим} \frac{1}{В} \int_{0}^{В} Т (В_{0}) г В_{0} "=" 0

$\lim_{V \to \infty} \bar T (V)= \lim_{V \to \infty} \frac 1 V \int_0^V T(V_0) d V_0 = 0$

так как площади пиков всегда более или менее равны, но расстояние между ними увеличивается пропорционально $n$ .

Насчет физической причины этого эффекта я не совсем уверен, но все сводится к деструктивной интерференции между волнами, рассеянными на двух «ступенях» потенциала.

PS: Это отличное приложение .

О, большое спасибо!! Кстати, это мне чем-то напоминает классическую ЭМ, нарушенное полное внутреннее отражение, хотя это не совсем то же самое, поскольку $\psi(x)$ в $0 < x < L$ не исчезающая волна.
@QMM Не за что. Да, действительно существует сильная аналогия между двумя явлениями.

Потенциальное рассеяние скважин

K_инверсия

Валерио

Сэмми Песчанка

K_инверсия

Ответы (1)

Валерио

K_инверсия

Валерио

Электрон проходит через ступенчатый потенциал от V0V0V_0 до 0

Почему выборочно можно полагаться на интуитивные аналоги при решении задач квантовой механики, таких как задача о ступенчатом потенциале?

Коэффициент прохождения конечного двойного потенциального барьера

Бесконечные и конечные квадратные колодцы

Потенциальное рассеяние на барьере, когда энергия частицы равна высоте барьера

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом

Рассеяние против связанных состояний

Когда собственные функции/волновые функции реальны?

Связанные состояния и состояния рассеяния - уравнение Шрёдингера, зависящее от времени

Как найти число ограниченных состояний в этом потенциале?