В 3D N=2N=2{\cal N}=2 SUSY линейный мультиплет содержит глобальный ток. Как это связано с калибровочным полем?

Линейный мультиплет определяется как$\Sigma=\epsilon^{\dot{\alpha}\beta}\bar{D}_{\dot{\alpha}}D_{\beta}V$где$V$— векторный мультиплет, соответствующий калибровочной симметрии U(1).

У вас нет «точечных индексов» для представлений группы Лоренца в$d=3$(поскольку (действительная) алгебра Лоренца есть$\mathfrak{sl}(2)$или$\mathfrak{su}(2)$для минковского/евклидова пространства-времени соответственно). Более того, это определение справедливо для любого векторного потенциала калибровочной симметрии, а не только$\mathsf{U}(1)$.

Что это за ток и как он связан с калибровочной симметрией U(1) векторного мультиплета V Σ?

Когда вы уменьшаете$d=4,\mathcal{N}=1$теория$d=3,\mathcal{N}=2$(главное, что у вас есть$4$генераторы SUSY в обеих теориях) векторный суперпотенциал разлагается как

$$\begin{equation} V=-i\theta\bar{\theta}\sigma -\theta\gamma^i\bar{\theta} A_i+i\theta^2\bar{\theta}\bar{\lambda}-\bar{\theta}^2\theta\lambda +\frac{1}{2}\theta^2\bar{\theta}^2 D,\end{equation}$$ где $\sigma$теперь является скалярным (лоренцевым) полем, которое соответствует компоненте поля $d=4$векторное поле в приведенном направлении. скаляр $\sigma$может взять VEV, который разбивает калибровочную группу на максимальный тор $\mathsf{U}(1)^{\operatorname{rank}\mathfrak{g}}$(топологически это $(\mathbb{S}^1)^r$, т.е. $r$-тор), таким образом, каждому абелеву фактору можно связать поле энергии-импульса $F^i$. Для простоты возьмем случай только с одним абелевым множителем и назовем $F_{ij}$соответствующая напряженность поля, которая представляет собой алгебру Ли со значениями $2$- форме, то в $d=3$звезда Ходжа отобразит ее в алгебру Ли со значением $1$-формы, замкнутой (уравнения Максвелла), а значит, локально точной, можно ввести скалярное поле $\gamma$и написать (локально) $$\begin{equation} \phi:= \sigma+i\gamma,\quad \star_3F=d\gamma, \end{equation}$$ $\gamma$известен как дуализированный скалярный фотон. Теперь решающим моментом является то, что его заряд квантуется, т.е. $$\begin{equation} q=\frac{1}{2\pi}\int F\in\mathbb{Z}, \end{equation}$$ Следовательно $\gamma$поле компактно, т. е. $\phi$и $\phi+2\pi i$должны быть идентифицированы, или, что то же самое, действие инвариантно относительно сдвига $\gamma$к $2\pi\mathbb{Z}$: мы называем это симметрией $\mathsf{U}(1)_{\scriptscriptstyle\rm J}$или топологической симметрии. Как вы можете видеть из $d\star_3F=0$, $J\sim\star_3F$является генератором $\mathsf{U}(1)_{\scriptscriptstyle\rm J}$глобальная симметрия с сохраняющимся зарядом $\sim q$(точные коэффициенты пропорциональности зависят от ваших определений). Определение $$\begin{equation} \Sigma=-\frac{i}{2}\epsilon^{{\alpha}\beta}\bar{D}_{{\alpha}}D_{\beta}V, \end{equation}$$ затем $$\begin{equation} 2\pi J=\sigma+\dots+\frac{1}{2}\theta\gamma^i\bar{\theta}(\star_3F)_i. \end{equation}$$

Попробуйте просмотреть приложения A и B этой статьи https://arxiv.org/abs/1406.6684 для более подробного объяснения.