Бета-функция нелинейной сигма-модели

Из-за симметрии 2d σ-модели, даже несмотря на то, что они содержат бесконечное количество контртерминов, имеют сами эти полки в несколько геометрических тензоров, ограниченных симметрией; и, таким образом, ограничиваются тензорами, такими как риччи, а затем лежат в основе β-функции обычным образом: эволюционируют не миллионы связей, это только геометрия, а на высокосимметричных «пионных» многообразиях, путем просто масштаб или два! (Для гиперсферы ниже просто ее радиус кривизны - она ​​раздувается до невзаимодействующей плоскости, конформной инвариантности, с энергией. ср. Тонг 7.1.2)

Оба проиллюстрированы в нашей статье BCZ 1985 , особенно в (2.41-2.49) и в Приложении А, призванном ответить именно на эти вопросы. Но это длинная история, в которой невозможно отдать должное в таком коротком формате.

Тем не менее, на ваш второй вопрос есть прямой ответ, подразумеваемый в заметках Тонга и, конечно же, в разделе 2 цитируемой здесь статьи.

• В измерениях ε = d-2 , считая поля «пиона» φ безразмерными, но голую метрику иметь размерность ε , в один цикл перепишите ваше выражение как $$(G_{\mu\nu}/\alpha')^{(0)}=M^\epsilon ( G_{\mu\nu}/\alpha' -\frac{1}{\epsilon}R^{(1)}_{\mu\nu} ).$$ Но голая α' -полная метрика должна быть независима от РГ-шкалы M ; поэтому работая над этим уравнением$M \frac{d}{dM}$на полюсе$\epsilon \to 0$сети $$0= M \frac{d}{dM} \frac{G_{\mu\nu}}{\alpha'} - R^{(1)}_{\mu\nu},$$ где верхний индекс (1) указывает на вычет на полюсе, а $$M \frac{d}{dM} \frac{G_{\mu\nu}}{\alpha'} = R^{(1)}_{\mu\nu}.$$

Таким образом, в наших масштабных соглашениях в гиперсфере ($R_{\mu\nu}=2 G_{\mu\nu}$) , обратный квадрат радиуса которого α' убывает с масштабом M , проявляется асимптотическая свобода:$d\alpha'/d\ln M =-2\alpha' ^2$. Асимптотически сфера уплощается до конформно-инвариантной плоскости.