Некоторые вопросы по конформной теории поля, алгебрам токов и конструкции Сугавары

Этот вопрос довольно открытый. Вторая часть этого включает в себя$SL(2,{\mathbb R})$подгруппа алгебры Вирасоро. Поэтому я подумал, что, рискуя дать ответы, которые могут не иметь отношения к делу, я решил попытаться связать это с теорией лжи. Алгебра Ли g имеет максимальный набор коммутирующих матриц, определяющих центр Картана$H^i$,$i~=~1,\dots,~ rank(g)$. Эти операторы действуют на остальные операторы$E^\alpha$как$[H^i,~E^\alpha]~=~\alpha^i E^\alpha$, где$\alpha^i$являются корнями алгебры. Теорема Якоби

$$[[H^i,~E^\alpha],~E^\beta]~+~[[E^\beta,~H^i],~E^\alpha]~+~[[E^\alpha,~E^\beta],~H^i]~=~0$$ позволяет нам вычислить $$[E^\alpha,~E^\beta]~=~\matrix{ C(α,β)E^{α+β}~& :~\alpha~+~\beta~a~root \cr 2\alpha\cdot H/\alpha^2~& ~: \alpha~+~\beta~=~0\cr 0~& ~: otherwise}$$ Структурная константа $|C(\alpha,\beta)~=~\pm 1$а во втором из них сокращение $H^i$с корнем $\alpha^i$является следом $H^i$и используется в нормализации $E^\alpha E^{-\alpha}~= 2/\alpha^2$.

Операторы струнных мод подчиняются алгебре Вирасоро,

$${[L^{a_j},~L^{b_j}]~=~(a_j~-~b_j)L^{a_j + b_j}~+~c(a_j ,b_j ).}$$ Генераторы Вирасоро расширяются по разложению Лорана. $$L^{a_n}~=~\oint\frac{dz}{2\pi iz}z^{a_n+2}T(z),~T(z)~=~-\sum_{a_n=\infty}^\infty\frac{L^{a_n}}{z^{m+2}}.$$ Коммутаторы генераторов Вирасоро $L^{-1},~L^0,~L^1$производить $SL(2,{\mathbb R})$алгебра $$[L^0,~L^{-1}]~=~L_{-1},~[L^0,~L^1]~=~-L^1,~[L^1,~L^{-1}]~=~2L^0.$$ Это то же самое по форме, что и $SU(2)$алгебра для операторов углового момента $L_\pm,~L_z$, но некомпактна.

Общий коммутатор элемента$T^a~=~T^a(z)$в векторном пространстве алгебры Ли подчиняется$[T^a,~T^b]~=~iC^{ab}_cT^c$. Внутренний продукт этих элементов определяет положительный элемент$\langle T^a,~T^b\rangle~=~h^{ab}$. Это служит метрикой в ​​векторном пространстве алгебры Ли. Это определяет правило

$$\langle[T^a,~T^b],~T^c\rangle~+~\langle T^b,~[T^a,~T^c]\rangle~=~0.$$ Таким образом, метрика $h^{ab}$определенный в некотором представлении, $r$, матричного элемента $t^a_r$то дает результат леммы Шура $tr(t^a_rt^b_r)~=~T_rh^{ab}$. Это также дает определение числа Кокстера cox(g) $$-\sum_{cd}C^{ac}_dC^{bd}_c~=~cox(g)(α_L)^2h^{ab}$$ для $\alpha_L$любой длинный корень.

С некоторыми из этих основ алгебры Ли можно найти расширения оператора вниз (OPE). Бозонный вершинный оператор для гетеротической струны имеет вид$j(z)\phi^i({\bar z})exp(ik\cot X)$, для$X$струнный мировой лист. Калибровочный бозонный вершинный оператор аналогично$j(z){\bar\partial}X^i({\bar z})exp(ik\cdot X)$. Ток голоморфен в комплексе$z$, и энергия напряжения, построенная из токов, чтобы быть конформной, также должна быть голоморфной. Самая основная форма ОРЕ - это$(1,0)$голоморфный ток

$$j^aj^b~\sim~ k^{ab}/z^2~+~i(c^{ab}_c/z)f^c(0).$$ Алгебраическое содержание находится путем разложения Лорана текущего $$j^a(z)~=~\sum_{m=-\infty}^∞\frac{j^a_m}{z^{m+1}},$$ где текущие коэффициенты удовлетворяют алгебре Ли $$[j^a_m,~j^b_n]~=~mk^{ab}\delta_{m,-n}~+~iC^{ab}_cj^c_{m+n},$$ которая является алгеброй Вирасоро. Коэффициенты $k^{ab}~=~kh^{ab}$. Для $m = 0,\pm 1$алгебра Вирасоро подчиняется замкнутой алгебре коммутаторов $$[j^a_0,~j^b_{\pm1}]~=~ic^{ab}_cj^c_{\pm 1},~ [j^a_1,~ j^b_{-1}]~=~2J_0,$$ который является $SU(2)$алгебра элементов $2\alpha\cdot H/\alpha^2$, $E^\alphaα_0$, $E^{-\alpha}_0$, или элементы $(2\alpha\cdot H~+~k)/\alpha^2$, $E^\alpha_1 E^{-\alpha}_{-1}$. Итак, мы соединяемся с приведенной выше алгебраической конструкцией Ли. Приведенное выше число Кокстера определяет энергию напряжения OPE. $$T~=~[(k~+~cox(g))(\alpha_L)^2]^{-1}:jj(z):$$ С: : означает нормализацию. С дополнительной работой текущая алгебра системы строит расширения OPE для соответствующих терминов. Таким образом может быть построена конформная непротиворечивая энергия-импульс.