Большой канонический гамильтониан и термодинамические ансамбли

Собственно, замена$H \to H - \mu N$ влияет на динамику существенно, но весьма незначительно. Это именно потому, что$H$а также$N$ездить. Если два оператора$A$а также$B$коммутировать, и только тогда мы можем разложить экспоненту как$e^{A + B} = e^{A} e^{B}$. Это позволяет сделать вывод, что$e^{-iHt} = e^{iN\mu t} e^{-iKt}$. То есть мы свободны развиваться вместе с$K$пока мы помним, что в конце дня мы должны подать заявку$e^{iN\mu t}$восстановить «истинную» временную эволюцию. Обычно это довольно легко, так как$N$очень простой оператор. Другой способ думать об этом состоит в том, что мы работаем во «вращающейся системе отсчета» — мы изучаем эволюцию, а не фактическое состояние системы.$|\psi(t)\rangle$, но "повернутого" состояния$e^{iN\mu t} |\psi(t)\rangle$.

Ответ выше, в котором утверждалось, что различия незначительны, потому что$\sqrt{ \langle (N - \bar{N})^2 \rangle }$мало, не правильно. В термодинамическом пределе эта величина все равно стремится к бесконечности. Его соотношение с$\bar{N}$стремится к нулю, но она должна была бы стремиться к нулю по абсолютной величине, чтобы не повлиять на динамику, а это не так. На самом деле можно убедиться, что, например, среднее значение (в бозонной системе) оператора рождения бозона$\langle a^{\dagger} \rangle$вращается с другой частотой под$K$чем под$H$(в частности, разница в частоте$\mu$). Это как раз объясняется дополнительным вращением$e^{iN \mu t}$обсуждалось выше.

Уравнение Шрёдингера не инвариантно относительно замены$H\rightarrow K$. Однако в большом каноническом ансамбле с некоторыми значениями обратной температуры$\beta$и химический потенциал$\mu$, флуктуация числа частиц$N$имеет порядок$\sqrt{\langle N \rangle }$, куда$\langle N \rangle$– среднее число частиц в этом ансамбле. Это колебание намного меньше, чем$\langle N\rangle$, поэтому состояния этого ансамбля, скорее всего, имеют число частиц, очень близкое к$\langle N \rangle$, а также$K=H-\mu N$дает почти ту же эволюцию, что и$K^\prime=H-\mu \langle N\rangle$ для этого особого большого канонического ансамбля . А также$K^\prime$действительно просто$H$с постоянным сдвигом.

Обсуждение вроде давно закончено, но все же вставлю свои 5 копеек.

Это очень хороший вопрос, на который я пытался ответить, чтобы понять формализм функции Грина Мацубары. Удивительно, но этот вопрос не затрагивается в известных мне учебниках.

Состояние$[\hat{\mathcal{O}}, \hat H] = 0$недостаточно, чтобы иметь возможность заменить оператор эволюции времени на$e^{i(\hat H + \hat{\mathcal{O}})t}$и поверните состояние на$e^{-i\hat{\mathcal{O}}t}|\psi\rangle$. Особенность оператора числа частиц$\hat N$заключается в том, что он используется во втором изображении квантования и действует на состояния, представленные числами заполнения,$|n_1, n_2, \ldots\rangle$. Затем повернутое состояние$e^{-i\mu\hat Nt}|n_1, n_2, \ldots\rangle = e^{-i\mu (n_1 + n_2 + \ldots)t}|n_1, n_2, \ldots\rangle$отличается от исходного состояния только фазовым множителем. Поскольку фаза волновой функции ненаблюдаема, повернутое состояние$e^{-i\mu\hat Nt}|n_1, n_2, \ldots\rangle$физически эквивалентен исходному состоянию$|n_1, n_2, \ldots\rangle$. Для произвольного оператора$e^{i\hat{\mathcal{O}}t}$, это не обязательно так, потому что$|\psi\rangle$может быть суперпозицией многих собственных состояний$\hat{\mathcal{O}}$; если вы повернете каждый из этих вкладов с$e^{-i\hat{\mathcal{O}}t}$, они приобретут разные фазовые множители.

Термин$-\mu\hat N$добавляется к гамильтониану, тем самым превращая его в большой канонический гамильтониан, чтобы можно было развить метод функции Грина при конечных температурах. Хорошо иметь один и тот же гамильтониан в статистическом операторе и в операторе временной эволюции, поэтому такие объекты, как$G(t) = -i\,\text{Tr}(e^{-\beta(\hat H - \mu\hat N)}[e^{i(\hat H - \mu\hat N)t}\,\hat A\,e^{-i(\hat H - \mu\hat N)t}, \hat B])$можно было бы легче манипулировать.

Существует еще одно предположение, связанное с использованием того же гамильтониана в каноническом (или большом каноническом) статистическом операторе,$e^{-\beta\hat{H}}$, а в операторе временной эволюции$e^{i\hat{H}t}$. Операторы изображения Гейзенберга развиваются согласно$e^{i\hat H t}\hat Ae^{-i\hat H t}$только если система изолирована. Но (большое) каноническое распределение подразумевает, что система не изолирована; скорее, он связан с гораздо большей тепловой баней, с которой наша система обменивается энергией (и частицами в большом каноническом случае). Поэтому, строго говоря, в оператор следует включить гамильтониан, описывающий взаимодействие системы и ванны:$\hat A(t) = e^{i(\hat H + \hat H_{SB})t}\hat Ae^{-i(\hat H + H_{SB})t}$. Пренебрежение гамильтонианом связи является приближением. Соединение системы с ванной должно быть слабым.