Ожидание коммутационного соотношения

Да. Коммутатор оператора с гамильтонианом связан со скоростью изменения среднего значения оператора.

$$\frac{\partial}{\partial t} \langle \Psi \mid \hat{O} \mid \Psi \rangle = \langle \frac{\partial}{\partial t} \Psi \mid \hat{O} \mid \Psi \rangle + \langle \Psi \mid \frac{\partial}{\partial t} \hat{O} \mid \Psi \rangle + \langle \Psi \mid \hat{O} \mid \frac{\partial}{\partial t} \Psi \rangle$$

применяя уравнение Шредингера

$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \mid \Psi \rangle = H\mid\Psi\rangle$$

и его сопряжение, мы получаем

$$\frac{\partial}{\partial t} \langle \Psi \mid \hat{O} \mid \Psi \rangle = \frac{i}{\hbar} \left(\langle \Psi \mid H \hat{O}\mid\Psi\rangle - \langle \Psi \mid \hat{O}H\mid\Psi\rangle\right) + \langle \Psi \mid \frac{\partial}{\partial t}\hat{O}\mid\Psi\rangle$$

где мы использовали тот факт, что$H$является эрмитовым. Объединение первых двух членов дает

$$\frac{\partial}{\partial t} \langle \Psi \mid \hat{O} \mid \Psi \rangle = \frac{i}{\hbar}\langle \Psi \mid [H,\hat{O}] \mid \Psi \rangle + \langle \Psi \mid \frac{\partial}{\partial t}\hat{O}\mid\Psi\rangle$$

В частности, если коммутатор равен нулю, как вы указали, а оператор не зависит от времени, то его математическое ожидание не меняется.

Как предположил Рон, мы можем получить немного больше от этого анализа. Обобщенный принцип неопределенности утверждает

$$\sigma_H\sigma_O \geq |\langle \Psi \mid \frac{1}{2i}[H,O]\mid\Psi\rangle|$$

Используя приведенное выше соотношение и предполагая, что оператор не зависит от времени, мы получаем

$$\sigma_H\sigma_O \geq \frac{\hbar}{2}\left|\frac{\textrm{d}\langle\hat{O}\rangle}{\textrm{d}t}\right|$$

или

$$\sigma_H\frac{\sigma_O}{\left|\frac{\textrm{d}\langle\hat{O}\rangle}{\textrm{d}t}\right|} \geq \frac{\hbar}{2}$$

$\sigma_O$представляет распространение в$\hat{O}$. Если$\langle \hat{O}\rangle$изменяется на$\sigma_O$, что свидетельствует о значительных изменениях. Так$\frac{\sigma_O}{\left|\frac{\textrm{d}\langle\hat{O}\rangle}{\textrm{d}t}\right|}$представляет собой шкалу времени, на которой$\langle \hat{O}\rangle$меняет значительную сумму. Если мы назовем это$\Delta t$и назовите стандартное отклонение энергии$\Delta E$, у нас есть

$$\Delta E \Delta t \geq \frac{\hbar}{2}$$