Связь точки оценки в интеграле по путям с порядковыми неоднозначностями. Пример с частицей в калибровочном поле

Я изучаю учебник Шульмана по интеграции путей. В первых главах этой книги он использует лагранжеву форму интеграла по траекториям и приходит к выводу, что при движении частицы во внешнем калибровочном поле необходимо использовать правило средней точки для оценки$\vec A (\vec x)$в интегралах по траекториям. Я хотел бы сравнить это с тем, что сделано у Вайнберга (квантовые поля). Там он объясняет, что выбор точки вычисления эквивалентен выбору порядка операторов в квантовом аналоге классической функции. Я последовал сделанным там шагам и обнаружил, что мы можем построить интегралы по путям, оцениваемые с использованием правила конечной точки, при условии, что мы берем классический гамильтониан как

$$H_{eff}= \frac{(\vec p - q \vec A)^2 + iq \vec \nabla A}{2m} + q V (\vec x).$$ Если мы выполним интегрирование по Гауссу в гамильтоновой версии интеграла по путям, мы получим лагранжеву формулировку с лагранжианом $$L_{eff} = \frac{m}{2} \dot{\vec{x}}^2 + q \vec A \cdot \dot{\vec x} - \frac{iq}{2m} \vec{\nabla} \cdot \vec A - q V (\vec x) .$$ Можно непосредственно убедиться, что при таком выборе лагранжевой формулы обычного интеграла по путям, аппроксимированной методом перевала, дает правильные результаты в том смысле, что волновая функция удовлетворяет уравнению Шредингера с правильным оператором Гамильтона. Сначала кажется, что все в порядке, но на самом деле не совсем так! Проблема в том, что действие, полученное с помощью этих $L$или $H$не преобразуется «как надо» при калибровочных преобразованиях. Кажется, здесь утеряно что-то важное.

Вопрос: Можно ли серьезно относиться к объяснениям у Вайнберга? Какова точная связь между оценочной точкой в ​​интеграле по путям и упорядочиванием неоднозначностей при квантовании? Есть ли способ сохранить калибровочную ковариацию, полученную с помощью процедуры, представленной Вайнбергом (с правилом конечной точки)?