CFT и конформная группа

Уравнения 2-7 на странице 21 этих заметок, http://www.math.ias.edu/QFT/fall/NewGaw.ps, кажется, дают довольно компактное определение того, что такое CFT.

Но у меня есть два вопроса,

  • Это определение относится к 2 измерениям. Есть ли аналог этого определения для более высоких размерностей?

  • Я хочу знать, есть ли эквивалентное определение CFT с точки зрения конформной группы в конкретном измерении.

Например, я хотел бы знать, могу ли я уточнить подобное утверждение (для любого измерения): «КТП — это КТП, такое что его гильбертово пространство разбивается на модули Верма, а корреляционная функция его первичных полей инвариантна относительно конформной группы в это измерение».

У нас есть нечетномерные КТП, и я не знаю, что такое «конформная группа»!

Небольшой комментарий к сообщению (v1): Пожалуйста, рассмотрите возможность явного указания автора, названия и т. д. ссылки, чтобы можно было восстановить ссылку в случае ее порчи.

Ответы (1)

Конформная группа определяется для любого желаемого пространства-времени. Конформная группа d-мерного евклидова пространства, имеющая группу изометрий SO(d), есть SO(d+1,1). Конформная группа d+1-мерного пространства Минковского, группа изометрий которого есть SO(d,1), есть SO(d+1,2). Определяющим свойством конформной группы является то, что ее множество преобразований оставляет метрику г мю ν инвариант с точностью до масштабного коэффициента е ю ( Икс ) .

Более общее определение КТП в измерениях d>2 состоит в том, что КТП — это КТП, гильбертово пространство которой распадается на представления конформной группы и чьи корреляционные функции инвариантны относительно любого конформного преобразования (я не думаю, что мы должны ограничиваться основные операторы).

Частный случай двух измерений состоит в том, что конформная алгебра бесконечномерна. Группа глобально определенных конформных преобразований по-прежнему конечна, но существует бесконечное число локальных конформных преобразований. Таким образом, двумерные КТП гораздо более ограничены, чем КТП более высокой размерности.

Для хорошего ознакомления посмотрите https://sites.google.com/site/slavarychkov/

Вот мои 2 вопроса, перефразированные лучше: (1) Разве не правда, что конформная группа в ( d > 1 ) + 1 Многообразие Минковского только локально изоморфно S O ( d + 1 , 2 ) а не глобально? (2) Есть ли доказательство для ( d > 1 ) + 1 Минсковского пространство-время, требующее, чтобы классический лагранжиан был инвариантным относительно масштабирования метрики Вейля, подразумевает, что гильбертово пространство соответствующей КТП расщепляется на S O ( d + 1 , 2 ) представления? [...AFAI увидел, что эта решающая связь между классической и квантовой картиной доказуема только на римановых поверхностях с фиксированной метрикой...]
Также верно ли, что в гильбертовом пространстве CFT все операторы будут собственными операторами при коммутации с оператором растяжения? (... потому что, когда кто-то спорит о том, какое состояние имеет наибольший вес в конформном модуле, он ищет этот оператор только среди таких операторов, которые коммутируют с K - и это главное...)
Чтобы ответить на ваш первый вопрос, да, изоморфизм только локальный (обычно). Конформная группа 3+1-мерного пространства Минковского дважды покрывается SO(4,2), которая, в свою очередь, дважды покрывается SU(2,2). 2) Я думаю, что масштабирование Вейля в целом отличается от конформных преобразований (масштабирование метрических и координатных преобразований), и нет никакой гарантии, что конформно-инвариантный лагранжиан приведет к CFT. В общем случае классически конформно-инвариантный лагранжиан порождает КТП только в том случае, если это фиксированная точка потока РГ (или, как правило, бета-функция обращается в нуль).
И да, в гильбертовом пространстве КТП все операторы будут собственными операторами оператора расширения. По сути, именно так строится гильбертово пространство: вы начинаете с первичных операторов, аннулируемых K, и строите все остальные состояния в конформном модуле с помощью P.
Спасибо за ответ! (1) Таким образом, если SO (d + 1,2) является только локальной моделью для того, что кто-то хочет назвать «конформной группой» (группой всех конформных диффеоморфизмов - диффеоморфизмов, которые сохраняют инвариантность метрики до масштабирования Вейля), тогда почему гильбертово пространство КТП расщепляется по своим представлениям? Предполагается, что КТП видят все пространство-время, а не только локальную группу симметрии, верно? Итак, мы говорим, что независимо от того, насколько сложна топология пространства-времени, КТП на ней будет иметь свое гильбертово пространство, расщепленное под S O ( 2 , d + 1 ) !
(2) См. проблему с масштабированием Вейля, на мой взгляд, довольно серьезную - потому что классически, думая о CFT в ( d > 1 ) + 1 это то, что мы всегда делаем - мы записываем инвариантный лагранжиан Вейля - а затем в качестве КТП мы думаем, что его гильбертово пространство расщепляется под SO ( 2 , d + 1 ) - нужно знать, что это действительно следует!
(3) Есть ли у вас ссылка, в которой доказано, что все состояния в гильбертовом пространстве CFT будут собственными операторами генератора растяжения? Такого доказательства я еще не видел! (... все аргументы начинаются с предположения, что такое собственное пространство растяжения существует для КТП, а затем ищется наименьшее среди них, и это то, что коммутирует с K и называется первичным..)
1) Вы путаете локальные группы симметрии с локальными изоморфизмами. Локальная симметрия — это симметрия, параметр которой изменяется в зависимости от пространства-времени (представьте себе локальную калибровочную симметрию U(1)). Я говорю, что как групповые многообразия SO(d+1,1) локально изоморфна конформной группе d-мерного евклидова пространства. Не более загадочно, чем то, что окружность (которая совпадает с U (1)) локально изоморфна реальной прямой (которая также образует группу при сложении). Глобально они различаются, но если нас интересуют небольшие глобальные преобразования, мы можем игнорировать различия.
2 и 3) Я думаю, что общее утверждение состоит в том, что гильбертово пространство теории с симметрией, то есть некоторая группа преобразований, которые оставляют инвариантным производящий функционал корреляционных функций, разлагается как представление этой симметрии. Я бы посмотрел в тексте Говарда Джорджи по алгебрам Ли и теории групп для обсуждения этого, но я не знаю никаких других ссылок (хотя я посмотрю). Опять же, классически конформно-инвариантный лагранжиан не всегда приводит к КТП, но если это так, то предыдущее утверждение должно выполняться.
Что касается более сложных топологий пространства-времени, то мне нечего сказать, что конформная группа больше не будет SO(d+1,2), которая справедлива только для d+1 пространства Минковского. При этом d-мерное евклидово пространство конформно эквивалентно d-мерной сфере, поэтому в большинстве случаев это не проблема.
Я думаю, вы упускаете мою мысль. Вы правы в том, что «гильбертово пространство теории с симметрией, то есть некоторая группа преобразований, которые оставляют инвариантным производящий функционал корреляционных функций, разлагается как представление этой симметрии» - НО - если действие инвариантно относительно конформных диффеоморфизмов, то S O ( 2 , d + 1 ) НЕ является полной группой преобразований симметрии (только локально!) - тогда почему гильбертово пространство все еще расщепляется под его представлениями? (...и это происходит независимо от топологии локально d + 1 -Минковское пространство-время - верно?...)
Хорошо, ваш вопрос действительно касается КТП в нетривиальном пространстве-времени. Теперь, как вы сказали, конформные диффеоморфизмы не дают полной группы симметрии, но они являются симметрией теории и должны быть представлены в гильбертовом пространстве. Теперь, если ваша КТП основана на нетривиальной геометрии, вы добавили ограничения от больших диффеоморфизмов, например, модульную инвариантность, если ваша теория живет на торе. Однако такие ситуации обычно не рассматриваются в d>2 КТП, потому что, хотя вы можете иметь КТП в реальном времени на d-мерном торе и требовать, чтобы она была инвариантна относительно SL(d,Z) больших диффео
но нет простой связи с размерностями операторов, потому что мы обычно квантуем радиально. 2d здесь особенный, потому что T2=S1xS1. Вы можете считать, что ваша теория живет в d-мерном евклидовом пространстве, умноженном на круг, и это дает дополнительные ограничения (обобщенная модульная инвариантность) из теории конечного температурного поля. Вы также можете считать, что ваша теория живет в d-сфере, но она конформно эквивалентна плоскому пространству. Как вы увидите, литература по d>2 КТП по большей части ограничивается плоским пространством, пространством с границами и сферами.
Я бы порекомендовал вам взглянуть на arxiv.org/pdf/1101.4163v2.pdf , это единственная статья, которая касается обобщенной модульной инвариантности.
CFT и конформная группа
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v