Каковы энергетические состояния частицы в дельта-потенциальной яме V(x)=−δ(x)V(x)=−δ(x)V(x)=-\delta(x)?

Вам дано, что потенциал имеет форму$V(x) = -\delta(x)$, и, таким образом, центрируется в нуле. Теперь, что вы можете сделать, так это рассмотреть каждую область, которую потенциально «отделяет» отдельно (а именно область, где$x>0$и$x<0$), вычислить общее решение с некоторыми коэффициентами и найти эти коэффициенты, используя определение потенциала. Рассмотрим регион, где ($x<0$), здесь потенциал в точности$0$, уравнение Шодингера сводится к

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi_1 = E\psi_1$$ Общее решение которого просто: $\psi_1 = Ae^{\kappa x}+Be^{-\kappa x}$для $\kappa = \sqrt{-\frac{2mE}{\hbar^2}}$, но, поскольку потенциал отрицателен и для того, чтобы собственное состояние энергии было связано, энергия должна быть отрицательной, коэффициент $\kappa$реально: $\kappa\in\mathbb{R}$. Чтобы волновая функция была нормируемой (и, следовательно, возможным решением), $\lim_{x\rightarrow -\infty} \psi_1 = 0$и поэтому $B=0$

Повторяя тот же процесс для области, где$x>0$, вы получите следующую волновую функцию:$\psi_2 = Ce^{\kappa x} + De^{-\kappa x}$. Аналогично, благодаря нормализации,$C=0$таким образом$\lim_{x\rightarrow \infty} \psi_2(x) = 0$

Теперь вопрос в том, как их связать? Ну, вы знаете форму потенциала, поэтому общая форма уравнения Шредингера для этой задачи проста:

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x) - \delta(x)\psi(x)= E\psi(x)$$ Но поскольку потенциал сосредоточен в нуле (если факт имеет ненулевое значение только при $x=0$), можно проинтегрировать по интервалу $[-\epsilon,\epsilon]$как $\epsilon\rightarrow 0$: $$-\frac{\hbar^2}{2m}\int_{-\epsilon}^{\epsilon} \frac{d\psi'}{dx} dx - \psi(0) \approx E\psi_{average}(x)\epsilon = 0$$ Что дает нам разрыв производной волновой функции: $$\psi'(\epsilon) - \psi'(-\epsilon) = -\frac{2m}{\hbar^2}\psi(0)\tag{D.1}$$ Но вы уже знаете общий вид каждого решения в каждом регионе, а именно: $\psi_1(x)$для $x<0$и $\psi_2(x)$для $x>0$, и уравнение $\text{D.1}$связывает производные этих функций. Вычисление производных дает: $$\psi_1'(x) = A\kappa e^{\kappa x} \\ \psi_2'(x) = -D\kappa e^{-\kappa x}$$ Используя разрыв производной: $$\lim_{\epsilon\rightarrow 0} \psi'(\epsilon) - \psi'(-\epsilon) = \psi_2'(0) - \psi_1'(0) = -\frac{2m}{\hbar^2}\psi_1(0) = -\frac{2m}{\hbar^2}\psi_2(0)$$ Но с тех пор $\psi_1(0) = A$, и $\psi_2(0) = B$, а из приведенного выше уравнения (и непрерывности волновой функции) $A=B$, давайте обратимся только к $A$. Таким образом, приведенное выше уравнение становится: $$2\kappa A = \frac{2m}{\hbar^2}A \rightarrow \kappa = \frac{m}{\hbar^2}$$ Что дает вам собственное значение энергии для этой связанной волновой функции: $$E = -\frac{m}{2\hbar^2}$$ а собственное энергетическое состояние: $\psi_1(x) = Ae^{\kappa x}$для $x<0$и $Ae^{-\kappa x}$для $x>0$что эквивалентно следующему: $$\psi(x) = Ae^{-\kappa |x|}$$ Поскольку это уравнение не имеет нулей/узлов, это собственное состояние энергии является основным состоянием. С $n$-е собственное энергетическое состояние имеет $n-1$нули, $2$собственное энергетическое состояние должно иметь точно $1$ноль, давайте подумаем, что будет последствием $\exists x\in\mathbb{R}: \psi(x) = 0$. Есть три возможности, а именно $\psi(x)=0$либо в

• $x=0$
• $-x\in\mathbb{R}^+$
• $x\in\mathbb{R}^{+}$

Рассмотрим каждый случай отдельно: если$\psi(0)$равен нулю, это означало бы, что разрыв производной волновой функции (ур.$\text{D.1}$) равно нулю, что равносильно тому, что:$\kappa=0 \rightarrow E=0$, т.е. частица не существует, отсюда можно сделать вывод, что если ноль существует, то он не находится в$x=0$.

Рассмотрим случай, когда$-x\in\mathbb{R}^+$, или регион, где$x<0$, здесь общее решение для волновой функции$\psi_1(x) = Ae^{\kappa x} + Be^{-\kappa x}$. Чтобы в этой области был ноль$Ae^{\kappa x}+ Be^{-\kappa x}=0$для некоторых$x$, из чего следует, что$B\neq0$, и поэтому

$$\lim_{x\rightarrow -\infty} \psi_1(x) = \lim_{x\rightarrow -\infty} Be^{-\kappa x} \neq 0$$ что препятствует нормализации волновой функции.

Повторение аналогичного процесса для региона$x\in\mathbb{R}^+$или$x>0$, дает тот же ответ: существование нуля подразумевает ненормируемость волновой функции, поэтому для существования связанной волновой функции должно выполняться следующее условие$\forall x\in\mathbb{R}: \psi(x)\neq 0$, что доказывает, что волновая функция основного состояния является единственным возможным собственным состоянием связанной энергии.

Из вышеизложенного видно, что для этого потенциала существует только одно собственное состояние со связанной энергией, а именно$\psi(x)= Ae^{-|\kappa x|}$с собственным значением энергии$E=-\frac{m}{2\hbar^2}$

---

Приложение: Решение для коэффициента пропорциональности$A$

Теперь, поскольку мы знаем форму волновой функции основного состояния, мы можем вычислить коэффициент пропорциональности$A$из условия нормализации:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \overline{\psi}(x)\psi(x) dx = A^2\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2|\kappa x|} dx =\\ A^2\left(\int_{-\infty}^{0} e^{2\kappa x} dx + \int_{0}^{\infty} e^{-2\kappa x} dx\right) = \frac{A^2}{\kappa} = 1$$ Который дает: $A = \kappa^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{m}{\hbar^2}}$, а волновая функция основного состояния принимает следующий вид: $$\psi(x) = \sqrt{\frac{m}{\hbar^2}}e^{-|\kappa x|}$$

---

Примечание: чтобы не перегружать текст производными, здесь any для любой произвольной функции $f(x)$переменной $x$, его производная $\frac{df(x)}{dx}$обозначается $f'(x)$.

Вы очень близко. Я думаю, что вам не хватает того, что вы ищете связанное состояние, поэтому$E<0$, следовательно, альфа является мнимой, что делает ваши экспоненты в вашей суперпозиции реальными экспоненциальными распадами / ростом вместо членов, которые колеблются до бесконечности.

Два из этих терминов расходятся в сторону$\pm\infty$, поэтому единственный способ, которым вы интегрируете, будет сходиться, если коэффициенты этих членов равны нулю. У вас осталось 2 коэффициента: требование «непрерывность фунтов на квадратный дюйм» и требование нормализации. Интегралы сходятся хорошо, отсюда только математика.