QM: решение конечного квадрата потенциала без предположения о симметрии

как следует из названия, я пытаюсь найти решение конечной потенциальной ямы, не используя нечетную/четную симметрию потенциала.

$$V(x) = \begin{cases} 0 & \text{otherwise} \\ -V_{0} & \text{-a $\leq$ x $\leq$ a} \\ \end{cases}$$

у которого есть решения

$$\psi(x) = \begin{cases} \psi_{1}(x) = Ae^{\kappa x} + Be^{-\kappa x} & \text{x < -a} \\ \psi_{2}(x) = Ee^{ikx} + Fe^{-ikx} & \text{-a $\leq$ x $\leq$ a} \\ \psi_{3}(x) = Ce^{\kappa x} + De^{-\kappa x} & \text{x > a}\\ \end{cases},$$ с $\kappa = \sqrt{\frac{-2mE}{\hbar^{2}}}$и $k = \sqrt{\frac{2m(E+V_{0})}{\hbar^{2}}}$.

Как обычно ставим$B=0$и$C=0$, так что функция все еще может быть нормализована. Затем воспользуемся непрерывностью в$-a$,$a$из$\psi(x)$и его производная$\psi'(x)$, что дает:

$$\begin{align} \psi_{1}(-a) &= \psi_{2}(-a)\quad \rightarrow\quad Ae^{-\kappa a} = Ee^{-ika} + Fe^{ika} \\ \psi_{1}'(-a) &= \psi_{2}'(-a)\quad \rightarrow\quad \kappa Ae^{-\kappa a} = ik(Ee^{-ika} - Fe^{ika}) \end{align}$$ и $$\begin{align} \psi_{2}(a) &= \psi_{3}(a)\quad \rightarrow \quad Ee^{ika} + Fe^{-ika} = De^{-\kappa a} \\ \psi_{2}'(a) &= \psi_{3}'(a)\quad \rightarrow \quad ik(Ee^{ika} - Fe^{-ika}) = -\kappa De^{-\kappa a} \end{align}$$

Отсюда в основном начинается моя борьба. Я пробовал несколько способов сложения, вычитания и деления уравнений, но так и не придумал$\kappa = k\tan(ka)$(или$\kappa = -k\cot(ka)$).

Может кто-нибудь подсказать, как решить эту систему уравнений?

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Если бы я хотел решить для нормализации, т.е.

$$\int_{-\infty}^{\infty}{|\Psi(x)|^{2}}dx=1 ,$$

как бы я это сделал? Потому что кажется, что после решения уравнений, насколько это возможно, я все еще застрял с ДВУМЯ константами

$$E$$ и $$F.$$