Чем отличается исчисление Ньютона от исчисления Лейбница?

Обозначения Ньютона, обозначения Лейбница и обозначения Лагранжа в той или иной степени используются сегодня. Они, соответственно:

Больше примеров нотаций вы можете найти в Википедии .

Стандартный интеграл($\displaystyle\int_0^\infty f dt$) обозначение также было разработано Лейбницем. У Ньютона не было стандартных обозначений для интегрирования.

Я прочитал из «Информации» Джеймса Глейка следующее: По словам Бэббиджа, который в конце концов получил Лукасовскую профессуру в Кембридже, которую занимал Ньютон, нотация Ньютона нанесла вред математическому развитию. Будучи студентом, он работал над введением системы обозначений Лейбница в том виде, в каком они используются сегодня в Кембридже, несмотря на отвращение, которое университет все еще испытывал из-за конфликта между Ньютоном и Лейбницем. Это обозначение гораздо полезнее, чем ньютоновское, для большинства случаев. Однако это означает, что с ней можно обращаться как с простой дробью, что неверно.

Вам обязательно стоит взглянуть на вторую главу книги Арнольда « Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук» . Покойный профессор Арнольд резюмировал в нем разницу между подходом Ньютона к математическому анализу и подходом Лейбница следующим образом:

Анализ Ньютона был применением степенных рядов к изучению движения... Для Лейбница... анализ был более формальным алгебраическим исследованием дифференциальных колец.

Обзор Арнольда вклада Лейбница в эту тему приправлен значительным количеством наводящих на размышления замечаний:

В работах других геометров, например, Гюйгенса и Барроу, фигурируют также многие объекты, связанные с данной кривой [например: абсцисса, ордината, касательная, наклон касательной, площадь криволинейной фигуры, подтангенс, нормальное, субнормальное и т. д.]... Лейбниц с его индивидуальной склонностью к всеобщности [он считал необходимым открыть так называемую характеристику, нечто всеобщее, объединяющее все в науке и содержащее все ответы на все вопросы], решил, что все эти величины следует рассматривать одинаково. Для этого он ввел единый термин для любой из величин, связанных с данной кривой и выполняющих какую-либо функцию по отношению к данной кривой, — термин функция ...

Таким образом, по Лейбницу, многие функции были связаны с кривой. У Ньютона был еще один термин — текучая, — который обозначал текущую величину, переменную величину и, следовательно, ассоциировался с движением. На основе исследований Паскаля и собственных рассуждений Лейбниц довольно быстро развил формальный анализ в том виде, в каком мы его теперь знаем. То есть в форме, специально пригодной для обучения анализу людей, которые его не понимают, людям, которые никогда его не поймут... Лейбниц довольно быстро установил формальные правила работы с бесконечно малыми, смысл которых неясен.

Метод Лейбница заключался в следующем. Он полагал, что вся математика, как и вся наука, находится внутри нас, и посредством одной только философии мы можем натолкнуться на все, если внимательно прислушаемся к процессам, происходящим в нашем уме. Этим методом он открывал различные законы и иногда весьма успешно. Например, он обнаружил, что$d(x+y) = dx+dy$, и это замечательное открытие немедленно заставило его задуматься о том, что такое дифференциал продукта. В соответствии с универсальностью своих мыслей он быстро пришел к заключению, что дифференцирование [должно быть] кольцевым гомоморфизмом, т. е. что формула$d(xy) = dx dy$должен держать. Но через некоторое время убедился, что это приводит к некоторым неприятным последствиям, и нашел правильную формулу$d(xy) = xdy + y dx$, которое теперь называется правилом Лейбница. Никто из индуктивно мыслящих математиков — ни Бэрроу, ни Ньютон, которого вследствие этого в марксистской литературе называли эмпирическим ослом, — не мог [никогда не вбить] в свою голову первоначальную гипотезу Лейбница, так как для такого человека она была совершенно очевидна. в чем отличие продукта, от простого чертежа...

Помимо проблемы с обозначениями, Ньютон экспериментировал с рядом фундаментальных подходов. Один из первых касался бесконечно малых, тогда как позже он уклонялся от них из-за философского сопротивления современников, часто происходившего из деликатных религиозных соображений, тесно связанных с межконфессиональными спорами. Лейбниц также знал о спорах, но он систематически использовал бесконечно малые и дифференциалы в развитии исчисления, и по этой причине ему больше удавалось привлекать последователей и стимулировать исследования — или то, что он называл Ars Inveniendi .

Из перевода Лёмкера,

«Рассуждения Лейбница, хотя и стремятся к более широкому применению закона обратных квадратов, чем к одной только гравитации, менее общие, чем рассуждения Ньютона («Начала», книга I, предложения I, 2, 14), поскольку предполагают гармоническое движение».

Лейбниц, Философские статьи и письма Готфрида Вильгельма: подборка / переведены и отредактированы, с введением Лероя Э. Лёмкера. 2 изд. Дордрехт: Д. Рейдель, 1970. стр. 362.

С практической точки зрения обозначения сильно отличались.

Особенно болезненным для меня моментом является то, что нотация Лейбница позволяет вам неправильно работать с производными, как если бы они были математической дробью. К сожалению, это «срабатывает» большую часть времени, поэтому его до сих пор используют даже на курсах колледжа.

Я не думаю, что есть что-то плохое в ярлыках, вплоть до того, что они не мешают пониманию. В данном случае я считаю, что это создает непонимание предмета. Уже одно это, я думаю, ставит нотацию Ньютона выше нотации Лейбница.

Я не историк, но я должен ответить на это, потому что предыдущие ответы совершенно неверны. Лейбница$\displaystyle \frac{df}{dx}$не равно _$f'(x)$.

Я думаю, что между исчислением Ньютона и исчислением Лейбница есть два основных различия:

• Исчисление Ньютона касается функций. Исчисление Лейбница касается отношений, определяемых ограничениями.
• В исчислении Ньютона есть (то, что сейчас назвали бы) предел, встроенный в каждую операцию. В исчислении Лейбница предел — это отдельная операция.

Оба пункта, а особенно второй, сегодня кажутся малопонятными. Когда сегодня люди пишут то, что похоже на нотацию Лейбница, они почти всегда используют ньютоновское функциональное исчисление в странной и неподходящей нотации. Потом они жалуются, что это непоследовательно, и обвиняют Лейбница. Это не вина Лейбница.

В реальном исчислении Лейбница, когда вы пишете$y=x^3$, это не определение$y$как функция$x$, это ограничение на действительный$(x,y)$кортежи. Геометрическое место действительных точек может оказаться графиком функции, но нефункциональные ограничения, такие как$x^2+y^2=1$одинаково приемлемы.

$d$примененный к выражению, дает вам разницу между его значением в текущей точке и в какой-либо другой точке, которая удовлетворяет ограничениям, где другая точка зависит только от текущей точки, а не от выражения. Другими словами, если$(x,y)$удовлетворяет ограничениям, то и$(x+dx,y+dy)$. Предположим, мы используем ограничение$y=x^3$, поэтому имеем

Это верно для любых двух точек, удовлетворяющих ограничению, если$dx\ne 0$.

$dy/dx$не равно$3x^2$(пока не$dx=-3x$). Но они равны в соответствующем пределе. Лейбниц писал$dy/dx \mathrel{{}_{\ulcorner\!\urcorner}} 3x^2$для этого. (Я видел это отношение, называемое адекватностью . LaTeX (и MathJax), по-видимому, не имеет для него символа. См. источник ужасного хака, который я использовал для его написания, который не является моим изобретением.)

Потому что$dx$и$dy$определены везде, где выполняется ограничение, мы также имеем

Это верно для любых трех точек, удовлетворяющих ограничению. Если вы сомневаетесь в легитимности этого, один из способов взглянуть на это — представить, что$x$и$y$являются функциями произвольного параметра и$(df)(t)=f(t{+}δt)-f(t)$. Тогда выражение является правильным утверждением о$x$и$y$оценивается в$t$,$t{+}δt$, и$t{+}2δt$, а это произвольные точки, так как параметр произволен.

Очевидно, что носить с собой все эти термины — это PITA, особенно когда вы знаете, что они исчезнут в пределе. Но если вы знаете , что они исчезнут, вы можете отказаться от них раньше. Это не делает исчисление нестрогим, точно так же, как исключение утомительных промежуточных алгебраических шагов (как я только что сделал) не делает его нестрогим. Что делает его нестрогим, так это несоблюдение различия между равенством и равенством в пределе, потому что тогда вы можете доказывать чепуху вроде$dx=-3x$.

Лейбниц писал$d^2x$как сокращение для$ddx=d(dx)$, но он не написал$\displaystyle\frac{d^2y}{dx^2}$( по крайней мере, согласно Википедии ). Я подозреваю, что он счел бы это мерзостью, потому что это не означает$(d^2y)/(dx^2)$, хотя в его обозначениях это значимая величина. Это значит$d(dy/dx)/dx$. По сути, область действия верхнего левого$d$оператор выходит из «числителя» в «знаменатель» и останавливается на полпути к продукту, представленному$dx^2$. Это как если бы$fx^2$имел в виду не$f(x^2)$, нет$f(x)^2$, но$f(x)\cdot x$. Я предполагаю, что это обозначение придумали люди, которые думали, что$\displaystyle\frac{d}{dx}$был просто странным способом написания функциональной производной.

Я виню современное непонимание нотации Лейбница в отсутствии стандартного способа записи анонимных функций. Если вы определите$f(x)=x^3$затем$\dot f$или$f'$кратко и удобно, но люди не любят все называть. Вместо того, чтобы изобретать разумную, составную нотацию, такую ​​как$D(λx.x^3)$или$(x\mapsto x^3)'$, они решили написать$\displaystyle\frac{d}{dx} x^3 = 3x^2$, что несовместимо с обозначениями Лейбница и которое по-прежнему не оставляет им возможности написать анонимную функцию, если только они не берут производную от нее.