Чем отличаются представления?

Question

Чем отличаются представления?

Физика
теория групп
физика частиц
теория представлений

аноним67

Извините, если это несколько глупый вопрос.

Во-первых: «Теория представлений — это раздел математики, изучающий абстрактные алгебраические структуры посредством представления их элементов в виде линейных преобразований векторных пространств »

Я мало знаю о физике элементарных частиц, но насколько я знаю, физики имеют дело только с группами (линейных) симметричных операторов, действующих в векторном пространстве состояний.

Так что фактически физики имеют дело с курсивной частью теории представлений. Зачем им это вводить? Каково значение действия «представление элемента группы в виде линейного преобразования» в работах физиков, уже имеющих дело с группами линейных преобразований?

Любопытный Разум

Я не совсем уверен, что вы спрашиваете. В физике есть группы симметрии (например,

S O (1, 3)

$\mathrm{SO}(1,3)$ как группа Лоренца, или

U (1)

$\mathrm{U}(1)$ как калибровочная группа электромагнетизма). Чтобы заставить эти симметрии воздействовать на наши векторы, мы должны рассматривать эти векторы как трансформирующиеся при определенном представлении симметрии, иначе мы не знали бы, как применить симметрию к данному вектору. Может быть, вы спрашиваете, почему мы рассматриваем другие представления, кроме фундаментального (т. е. того, где мы берем элементы

S U (N)

$\mathrm{SU}(N)$ просто как матрицы они есть)?

аноним67

Да, это я и спрашиваю. Я только что придумал ответ. Если бы вы могли сделать это более ясным, это было бы здорово. Я только начинаю читать первую книгу по теории повторений :)

Ответы (2)

Чем отличаются представления?

Я не совсем уверен, что вы спрашиваете. В физике есть группы симметрии (например, $\mathrm{SO}(1,3)$ как группа Лоренца, или $\mathrm{U}(1)$ как калибровочная группа электромагнетизма). Чтобы заставить эти симметрии воздействовать на наши векторы, мы должны рассматривать эти векторы как трансформирующиеся при определенном представлении симметрии, иначе мы не знали бы, как применить симметрию к данному вектору. Может быть, вы спрашиваете, почему мы рассматриваем другие представления, кроме фундаментального (т. е. того, где мы берем элементы $\mathrm{SU}(N)$ просто как матрицы они есть)?
Да, это я и спрашиваю. Я только что придумал ответ. Если бы вы могли сделать это более ясным, это было бы здорово. Я только начинаю читать первую книгу по теории повторений :)

Любопытный Разум · Answer 1

Группа $G$ сам по себе не является группой линейных преобразований , это абстрактный алгебраический объект. Только его представления отображают его элементы (инъективно, если представление точно) в элементы $\mathrm{Aut}(V)$ некоторого векторного пространства $V$ .

Поначалу кажется, что физике не нужен такой абстрактный язык. Наше «векторное пространство» — это в значительной степени наше пространство-время. $\mathbb{R}^4$ , так что ваши симметрии на самом деле просто матрицы в этом пространстве-времени. Симметрия Лоренца просто $\mathrm{SO}(1,3)$ в его фундаментальном представлении на пространстве Минковского $\mathbb{R}^{1,3}$ , верно? Или нерелятивистская, вращательная симметрия просто $\mathrm{SO}(3)$ на $\mathbb{R}^3$ , верно?

...и еще есть угловой момент и вращение. Если вы решите уравнение Шредингера для уровней энергии атома водорода, вы обнаружите, что уровни энергии характеризуются «квантовыми числами». $(n,l,m,s)$ . Сейчас $n$ скучный. Но $l$ и $m$ являются собственными значениями сферического лапласиана и приводят к любимым сферическим гармоникам $Y^l_m$ как самостоятельные решения. Оказывается, если вы вращаете систему в пространстве, эти гармоники ведут себя по-разному в зависимости от их $l$ ! Формально пространство

{ЧАС}_{л} "=" {\sum_{м} с_{м} Д_{м}^{л} | м е {- л, - л + 1, \dots, л} \land с_{м} е р}

$H_l := \{\sum_m c_m Y^l_m | m \in \{-l,-l+1,\dots,l\}\wedge c_m \in \mathbb{R}\}$

является векторным пространством и несет представление группы вращений $\mathrm{SO}(3)$ ! Но не основной, если $l > 1$ . Итак, ваше нефундаментальное представление возникает исключительно при решении уравнений, описывающих физическую систему.

Это становится еще более странным для этих групп вращений, так как также оказывается, что есть объекты, фермионы, которые не трансформируются в представлении $\mathrm{SO}(1,3)$ или $\mathrm{SO}(3)$ , а в представлении их универсальных накрытий $\mathrm{Spin}(1,3)$ или $\mathrm{SU}(2)$ , соответственно. У вас нет возможности описать виды явлений, которые вы наблюдаете для фермионов, не признав, что они трансформируются таким образом.

И это не конец истории. Если вы строите калибровочную теорию с калибровочной группой $G$ , вы обнаружите, что соответствующая напряженность поля калибровочного поля должна преобразовываться как элемент присоединенного представления $G$ . Таким образом, нефундаментальные представления пронизывают многие аспекты (квантовой) теории поля.

аноним67 · Answer 2

Вот что я подумал:

В конкретной системе физики группа симметрических операторов (скажем, действующих в гильбертовом пространстве V) является подгруппой группы L(V).

Поэтому в теории представлений вместо L(V) мы можем иметь дело с неприводимым представлением L(A), которое существенно проще, чем L(V).

Это чертовски круто — самому придумывать что-то осмысленное. (Даже если это может быть неправдой)

Чем отличаются представления?

аноним67

Любопытный Разум

аноним67

Ответы (2)

Любопытный Разум

аноним67

Физически, что такое псевдореальное представление?

Какова идея подсчета числа возбужденных состояний и представления группы?

Та же плата U(1)U(1)U(1) за дублет SU(2)SU(2)SU(2)

Что такое мультиплеты частиц в Стандартной модели?

Изоспин SU(2)SU(2)SU(2) для кварка и антикварка: Fix d¯=−|1/2,1/2>d¯=−|1/2,1/2>\bar {d}=-|1/2,1/2>?

Физическое значение реальности представления NN{\bf N}: как это влияет на характер взаимодействий?

Теория лжи, представления и физика элементарных частиц

Калибровочная теория и теория представлений

Правила ветвления для SU(3)SU(3)SU(3)

Правила трансформации суперзарядки