Какова идея подсчета числа возбужденных состояний и представления группы?

Читая главу 1 Полчински, я наткнулся на следующее на странице 24:

"Например,$(D-1)$размерное векторное представление$SO(D-1)$распадается на инвариант и$(D-2)$-вектор под$SO(D-2)$действующие в поперечных направлениях,

$$\vec{v} = (v^1, 0, 0, \dots) + (0. v^2, v^2, \dots, v^{D-1})$$

Таким образом, если массивная частица находится в векторном представлении$SO(D-1)$, мы увидим скаляр и вектор, когда посмотрим на свойства преобразования под$S0(D-2)$. Эта идея распространяется на любое представление: всегда можно реконструировать полное$SO(D-1)$спиновое представление от поведения под$SO(D-2)$. "

Я могу показать, что второе возбужденное состояние, которое дается формулой

$$\alpha_{-1}^i \alpha_{-1}^j |0\rangle \bigoplus \alpha_{-2}^i |0\rangle$$ где $i,j$работает от $\{2,D-1\}$и рассматривать их симметрично, нет. возбужденных состояний будет $\dfrac{(D+1)(D-2)}{2}$что совпадает с размерами бесследовой симметричной иррепрезентации $SO(D-1)$.

Мой вопрос заключается в том, как мы можем быть уверены, просто сопоставляя числа, и что это означает физически, и есть ли механизм для последовательного выполнения этого? Что означает это дело «реконструкции$SO(D-1)$представительство от$SO(D-2)$" иметь в виду ?

Я немного разбираюсь в теории групп, например, в матрицах Картана, диаграммах Дынкина и методе таблиц Юнга для теории SU (N), поэтому было бы хорошо, если бы кто-нибудь мог дать мне хорошую ссылку. Конечно, было бы здорово получить точный ответ :).