Существует три вида представлений: реальные, сложные и псевдореальные. Комплексное представление не эквивалентно своему сопряженному, в отличие от реального, что довольно просто. Псевдовещественное представление также эквивалентно своему сопряженному, но связывающая их замена базисной матрицы имеет некоторые забавные свойства. (Обратите внимание, что эти определения не зависят от терминов «реальный» и «сложный» в математике; все представления в квантовой механике являются «сложными» в математическом смысле.)
Есть ясный физический смысл комплексного представления, т.е. частицы, которые трансформируются в этих представлениях, не тождественны их античастицам. Но я не могу найти для псевдореальности простого физического смысла, отличающего ее от реальности; мне кажется, что это довольно произвольное различие, и я даже не знаю, почему мы хотели бы проводить это различие на математических основаниях. Как я должен физически думать о реальности и псевдореальности?
Определение реального представления состоит не только в том, что оно изоморфно своему сопряженному.
И реальные, и псевдореальные представления изоморфны своим сопряженным. Эта изоморфия вынуждает существование эквивариантного антилинейного отображения
Такое эквивариантное отображение обязательно кратно единице по лемме Шура, т. е. для некоторых . Если , затем является вещественной формой и представление вещественно, если , затем является кватернионной формой , а представление является псевдовещественным = кватернионным.
Вы можете свести реальное представление к буквальному представлению в реальном векторном пространстве, т.е. ограничить представление подпространством с , т.е. комплексное представление естественно распадается на прямую сумму двух вещественных представлений . Это, например, майорановские спиноры.
Вы не можете редуцировать таким образом кватернионное представление (хотя с псевдомайоранами происходит забавное дело, которое мне не совсем понятно).
Мозибур Улла
Космас Захос