Это вопрос, который был размещен на многих разных форумах, я подумал, что, может быть, у кого-то здесь будет лучший или более концептуальный ответ, чем я видел раньше:
Почему физиков волнуют представления групп Ли? Что касается меня, когда я думаю о представлении, которое означает, что существует какая-то группа, действующая в векторном пространстве, на каком векторном пространстве действует эта группа Ли?
Или дело в том, что некоторые вещи должны оставаться инвариантными при групповом действии? может быть, это глупый вопрос, но я подумал, что это может быть хорошим началом...
Чтобы уточнить, я специально имею в виду группы симметрии, о которых люди думают в связи со стандартной моделью. Меня не волнует, почему это может быть определенная группа, но больше то, как мы видим группу, действующую, на что она действует? и т.п.
Позвольте мне попробовать. Когда мы строим теорию, мы подозреваем, что объекты, с которыми она имеет дело, могут быть довольно сложными. Естественно, мы хотим найти простейшие «кирпичики», из которых состоят сложные объекты. Если бы наша теория была абсолютно произвольной, мы вообще не смогли бы классифицировать эти простые строительные блоки. К счастью, при построении теорий мы отмечаем, что заданный нами лагранжиан и вакуумное состояние имеют определенные симметрии. Раз мы это заметили, то чистой математикой будет показать, что простые объекты в нашей теории следует классифицировать в соответствии с представлениями группы симметрии лагранжиана и состояния вакуума.
Заметим, что есть некоторые очевидные для нас симметрии, которые мы воспринимаем (например, инвариантность относительно группы Пуанкаре), и есть некоторые симметрии, которые мы изобретаем (например, неабелевы калибровочные симметрии). В последнем случае мы знаем, что по построению все макроскопические состояния (включая вакуумное состояние) должны быть инвариантны относительно этой новой группы внутренней симметрии. Это дает нам кратчайший путь к утверждению, что простой объект в нашей теории должен классифицироваться в соответствии с представлениями новой группы.
А что касается конкретного вопроса:
значит, фундаментальная частица действует на квантовые состояния?
Когда мы говорим, что частица или поле находятся в представлении R группы G, мы не имеем в виду, что частицы связаны с матрицами представления R, действующими на что-то еще. Мы скорее имеем в виду, что частица может быть записана в терминах собственных состояний матриц, представляющих операторы в R. Таким образом, на частицы действуют преобразования группы симметрии.
Векторное пространство, на которое воздействуют, обычно является гильбертовым пространством состояний в квантовой механике; очень грубо, есть основа этого векторного пространства, которая находится во взаимно однозначном соответствии с набором возможностей для физической системы. Самый простой пример, который можно попытаться понять, — это частица со спином 1/2 (2-мерное представление SU (2)), которая объясняется в любой вводной книге по квантовой механике.
См. теорему Вигнера , она строго объясняет взаимосвязь между группой симметрий и состояниями физической частицы.
JC
Эрик