Четные и нечетные решения уравнения Шредингера

Четные и нечетные решения получаются следующим образом. Предполагать$\psi_1(x)$является решением

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_1(x)}{dx^2}+V(x)\psi_1(x)=E_1\psi_1(x)$$ и внесите изменения $x\to -x$повсюду. Затем $$\frac{d}{d(-x)}=-\frac{d}{dx}\, ,\qquad \frac{d^2}{d(-x)^2} =\frac{d^2}{dx^2}$$ так что мы получаем $$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_1(-x)}{dx^2}+V(-x)\psi_1(-x)=E_1\psi_1(-x)$$ Если ваш потенциал симметричен, то $V(-x)=V(x)$и вы можете видеть это $\psi_2(x):=\psi_1(-x)$также является решением задачи для того же потенциала. С $\psi_1(x)$и $\psi_2(x)$имеют одно и то же собственное значение $E_1$, то легко видеть, что $$\phi(x)=A\psi_1(x)+B\psi_2(x)=A\psi_1(x)+B\psi_1(-x)$$
также является решением с энергией $E_1$. Равномерное решение - это выбор $A=B$: в этом случае $\phi_+(x)=A (\psi_1(x)+\psi_1(-x))=\phi_+(-x)$, определяющий четную функцию. Странное решение $\phi_-(x)$получается с использованием $B=-A$; это удовлетворяет $\phi_-(-x)=-\phi_-(x)$. Таким образом, в симметричном потенциале, для которого $V(x)=V(-x)$, всегда можно найти четные или нечетные решения задачи.

В вашем конкретном случае вам лучше начать с

$$\psi(x)=\left\{\begin{array}{ll} A\sin(k(x+L))&\hbox{if }x<0\, ,\\ B\sin(k(x-L))&\hbox{if }x>0\, .\end{array}\right.$$ Эта форма гарантирует $\psi(-L)=\psi(L)=0$если ваши стены на $x=\pm L$. Вероятно, вы можете расширить аргумент каждого синуса, чтобы получить комбинацию синуса и косинуса, но эта форма делает очевидным, что вы удовлетворяете граничным условиям.

Паритет решения придет, когда вы свяжете$A$и$B$. Например, взяв$x\to -x$изменения$A\sin(k(x+L))\to A\sin(k(-x+L))=-A(\sin(k(x-L))$пока$B\sin(k(x-L))\to -B\sin(k(x+L))$так что даже решение с$B=-A$. Затем вам нужно найти$k$используя разрыв производных