Стационарные состояния треугольной призмы

Мне нужно найти волновые функции стационарных состояний трехмерной квадратной потенциальной ямы с границами, определенными треугольной призмой, как показано на странице википедии: https://en.wikipedia.org/wiki/Triangular_prism

Треугольная призма

Потенциальная яма (рассматриваемая в 1-мерном поперечном сечении) представляет собой простую квадратную потенциальную яму и может быть либо конечной (0 снаружи, -V внутри), либо бесконечной (0 внутри, ∞ снаружи), и то, и другое было бы разумным приближением для моих целей. .

Т.е. в поперечном сечении потенциал примерно такой, но его полная трехмерная форма – это форма треугольной призмы:

потенциальное сечение

[Любое решение для точной аппроксимации этой геометрии также может быть полезным (например, если задачу легче решить для призмы с треугольным поперечным сечением Рело вместо равностороннего, или для потенциальной ямы, описываемой непрерывной функцией или что-то, это может быть достаточно близко).]

Из-за пониженной симметрии по сравнению с цилиндрическими или сферическими случаями из учебника я не знаю, как к этому подойти.

Кто-нибудь может указать мне в направлении решения? Большое спасибо!

Вы читали это en.wikipedia.org/wiki/Airy_function . Это может не иметь значения, если это 1D, но если это 3D функция, это может дать вам некоторый ключ к правильной системе координат для использования.
У меня есть, это решения для треугольного потенциала, хотя верно? Мой потенциал квадратный, но объем, определяющий его границы, представляет собой треугольную призму. Я отредактировал исходный пост, чтобы было понятнее - спасибо!
По крайней мере, в осевом направлении это должно быть простое решение типа «частица в ящике». Может быть, для двух других компонент тот факт, что гамильтониан инвариантен относительно поворотов на 120 градусов, означает, что собственные состояния также обладают этой симметрией с точностью до константы?
Я не уверен. Из-за симметрии сферической и цилиндрической задач можно разделить радиальную и угловую части, но в данном случае я не уверен, что это возможно - радиальная потенциальная яма меняет свою ширину с изменением угла, а также центр треугольника. не совпадает с центром ямы.
Взгляните на это здесь: en.wikipedia.org/wiki/File:TriangleBarycentricCoordinates.svg Я полагаю, что основное состояние наверняка будет иметь максимальную амплитуду в точке (1/3, 1/3, 1/3), но это составляет 2/3 вдоль одномерного поперечного сечения. Я думаю, что это отсутствие симметрии делает проблему более сложной.
Извините, я только что понял, что не прочитал ваш ответ должным образом, вы указали осевое направление!

Ответы (1)

Я не уверен насчет случая с конечной глубиной колодца, но если стенки бесконечно твердые, то эту задачу можно решить точно. Решение подробно описано в документах

Другие документы с соответствующими решениями здесь , здесь и здесь .

Потеря непрерывной вращательной симметрии означает, что вам нужно полностью решить двумерное УЧП, но дискретная симметрия действительно помогает, поскольку решения должны нести представления Д 3 группа симметрии. Это означает, что существуют строгие отношения между значениями собственных функций на разных ребрах, и их можно использовать для «сшивания» вместе нескольких копий домена для создания трансляционно-инвариантной области.

и, следовательно, вы ожидаете, что решения будут экспонентами плоской волны в этой расширенной области, которые затем проецируются обратно в суммы экспонент внутри треугольника.

Я не уверен, в какой степени эти методы применимы к версии колодца конечной глубины, в этой статье для решения проблемы используется числовая диагонализация, а поиск в Google «треугольной квантовой точки» (вероятно, наиболее полезная отправная точка) не помогает. Это сразу не дает ничего многообещающего, и ни то, ни другое не предвещает существования закрытых решений. (То же самое касается их отсутствия в этом обзоре .) Поскольку вы утверждаете, что проблема бесконечных стен подходит для ваших целей, я бы посоветовал вам просто придерживаться этого.

Он, вероятно, мог бы следовать аргументам статей, которые вы упомянули, просто используя разделение переменных для случая бесконечной стены. Очень крутая статья, кстати. Я думал, что кто-нибудь решит это.
@Vendetta Приведенные ссылки, по-видимому, утверждают, что собственные состояния неразделимы, поэтому, вероятно, это немного сложнее, но, в конечном счете, если людям нужны явные решения, тогда есть эталонный след, и они должны преследовать его.
Направления x и y неразделимы, но я имел в виду направление z.
@EmilioPisanty Ссылка на документ JMP отправляется в вашу библиотеку, а не в журнал. Если позволите: это фантастический ответ, который удерживает меня от PhysicsSE.
Хм. Может быть, вы могли бы на самом деле обобщить их метод для любого треугольника, так как этот тип мозаики может быть выполнен для любого треугольника (вы всегда можете использовать два треугольника, чтобы сделать параллелограмм, как показано на рисунках), вы просто деформируете симметрию, восстанавливая их отношение в равносторонний случай. Это, безусловно, будет иметь большое значение для спектра и волновых функций, но, похоже, многое из их метода все еще остается в силе. Также, используя этот ход мысли, можно было бы легко применить такое рассуждение к равнобедренному прямоугольному треугольнику, поскольку два треугольника образуют квадратный потенциал.
Ну... Это, вероятно, было сделано раньше, как и все мои идеи.
Стационарные состояния треугольной призмы
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v