Как рассчитать временную эволюцию волновой функции в одномерном потенциале с бесконечной квадратной ямой?

Для частицы в ящике известно поведение специальных решений:

$$\psi_0(x)= \sin(kx)$$

Где$k={\pi n\over a}$, где n — целое число, превращается в

$$\psi(x,t) = e^{- i\omega t} \sin(kx)$$

где$\omega = {k^2\over 2m}$(вплоть до$\hbar$факторы, я установил$\hbar=1$, как и следует для таких вещей).

Вы можете расширить свою волновую функцию$x(A-x)$в интервале между 0 и А, как бесконечный ряд этих синусоид, это ряд Фурье. Поскольку вы знаете, как развивается каждая синусоида, вы знаете, как развивается все это, поскольку уравнение Шредингера является линейным.

Линейное свойство говорит о том, что в сумме начальных условий каждый член суммы времени развивается независимо, а затем суммируется с изменением суммы во времени.

Я остановлюсь здесь, потому что это похоже на домашнее задание. Но в качестве подсказки о том, как эффективно выполнять ряды Фурье, ряд Фурье дельта-функции прост, и если вы дважды проинтегрируете дельта-функцию (с соответствующими константами интегрирования), вы найдете свое начальное условие. Вы также можете найти коэффициенты Фурье методом грубой силы, но это требует небольшого интегрирования по частям.