Численное решение двумерного уравнения Пуассона с помощью БПФ, правильные единицы измерения

Двумерное уравнение Пуассона:

(1)

$$\frac{d^2\varphi(x,y)}{dx^2}+\frac{d^2\varphi(x,y)}{dy^2}=-\frac{\varrho(x,y)}{\epsilon_0\epsilon}$$

И в$k$-пространство в форме:

(2)

$$(k_x^2+k_y^2) \phi(k_x,k_y)=-\frac{\rho(k_x,k_y)}{\epsilon_0\epsilon}.$$

Для численного решения я использую сложное БПФ (библиотека FFTW на C). Для области физического размера L и сетки размера N (постоянная сетки h=L/N), дискретных координат и периодических границ у меня есть:

(3)

$$\rho[k_x,k_y]=\frac{1}{N^2}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1}\varrho[x,y]e^{-j2\pi(xk_x+yk_y)/N}$$

Я могу умножить обе части на$-\frac{1}{\epsilon\epsilon_0}$, затем разделить$\rho[k_x,k_y]$к$(k_x^2+k_y^2)$в каждой точке (учитывая, что выход БПФ симметричен относительно$k_{x}$= N/2 и$k_y$= N/2) я получаю$\phi[k_x,k_y]$. По обратному БПФ:

(4)

$$\varphi[x,y]=\sum_{k_x=0}^{N-1}\sum_{k_y=0}^{N-1}\phi[k_x,k_y]e^{j2\pi(xk_x+yk_y)/N}$$ Я получаю 2D-потенциал, исходя из плотности заряда $\varrho$. Но мне не хватает коэффициента масштабирования в приведенных выше определениях, и я не могу этого понять. Короче говоря, что сделать, чтобы единицы СИ соответствовали приведенным выше определениям, чтобы они подходили как с точки зрения преобразования Фурье, так и с точки зрения реального результата $\varphi$. Меня больше всего беспокоит то, что если я введу тестовый заряд плотности $\varrho(x,y)=\frac{e}{h^2}\delta[x,y]$в единицах $C/m^2$посреди площади с $L=10^{-6}m$Я ожидаю выход, аналогичный кулоновскому потенциалу $\frac{1}{r}\frac{e}{4\pi\epsilon\epsilon_0}$, но решение отличается на много порядков. Почему?

Поэтому я думаю, что это может быть проблема с делением на k. Каким должно быть k для этого определения дискретного преобразования? Например$k=2\pi h/L$или$k=2\pi x/N$