Коммутационная задача в модели Хаббарда

В комментариях был предложен прямой расчет, поэтому я публикую его для полноты картины.

Используя тождество матрицы Паули$\sigma_{\alpha\beta}\cdot\sigma_{\gamma\delta}=2\delta_{\alpha\delta}\delta_{\beta\gamma}$и представление спиновых операторов$\mathbf{S}_i=c_{i\alpha}^\dagger \sigma_{\alpha\beta}c_{i\beta}$, несложно проверить следующее тождество:

$$\mathbf{S}_i\cdot \mathbf{S}_j=-\frac{1}{2}\sum_{\alpha,\beta}c_{i\alpha}^\dagger c_{j\beta}^\dagger c_{i\beta} c_{j\alpha}-\frac{n_i n_j}{4}$$

В частности, мы можем проверить

$$\mathbf{S}^2=\sum_i\mathbf{S}_i^2=\frac{1}{2}\sum_i(n_i-\frac{3}{2}n_i^2)=\frac{N}{2}-\frac{3}{4}\sum_in_i^2$$ Первый член пропорционален оператору полного числа, который коммутирует с гамильтонианом Хаббарда, поскольку известно, что он является гамильтонианом, сохраняющим число частиц. Поэтому нам нужно проверить коммутатор только со вторым членом. Скачкообразный термин является потенциально некоммутирующим термином, потому что$n_i, n_{i\uparrow},n_{i\downarrow}$все одновременно диагонализируемые операторы.

$$\begin{align} \left[\sum_m n_m^2,\sum_{<ij>,\sigma}c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma}\right] &= \sum_{\substack{m,\alpha,\beta\\<ij>,\sigma}} \left[n_{m\alpha}n_{m\beta},c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma}\right]\\ &=\sum_{\substack{m,\alpha,\beta\\<ij>,\sigma}}\left(n_{m\alpha}\left[n_{m\beta},c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma}\right]+\left[n_{m\alpha},c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma}\right]n_{m\beta}\right) \end{align}$$

Давайте посчитаем один из этих коммутаторов,

$$\begin{align} \left[n_{m\beta},c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma}\right] &= c_{i\sigma}^\dagger\left[n_{m\beta}, c_{j\sigma}\right]+\left[n_{m\beta},c_{i\sigma}^\dagger \right]c_{j\sigma}\\ &=c_{i\sigma}^\dagger(-\delta_{jm}\delta_{\beta\sigma}c_{j\sigma})+(\delta_{im}\delta_{\beta\sigma}c_{i\sigma}^\dagger)c_{j\sigma}\\ &=(\delta_{im}-\delta_{jm})\delta_{\beta\sigma}c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma} \end{align}$$

Вставив это обратно,

$$\begin{align} \left[\sum_m n_m^2,\sum_{<ij>,\sigma}c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma}\right] &= \sum_{\substack{m,\alpha,\beta\\<ij>,\sigma}}\left[n_{m\alpha} (\delta_{im}-\delta_{jm})\delta_{\beta\sigma}c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma} + (\delta_{im}-\delta_{jm})\delta_{\alpha\sigma}c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma} n_{m\beta}\right]\\ &=\sum_{<ij>,\sigma} \left[(n_i-n_j) c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma} + c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma} (n_i-n_j)\right] \end{align}$$

Теперь мы можем использовать коммутатор$\left[n_{m\beta},c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma}\right]$полученный выше еще раз, чтобы перевести все числовые операторы вправо, оставив позади

$$\sum_{<ij>,\sigma}2 c_{i\sigma}^\dagger c_{j\sigma}(1+n_i-n_j)$$ который в общем случае не исчезает. Таким образом, ясно, что$\sum_i \mathbf{S}_i^2$не коммутирует с гамильтонианом Хаббарда.