Вывод спин-орбитальной связи Рашбы в модели сильной связи

Из определения имеем

$\Psi(\vec{r}) = \sum_i c_i w(\vec{R}_i-\vec{r})$

где$w(\vec{R_i}-\vec{r})$является функцией Ванье с центром в$\vec{R}_i$и следует условию ортонормированности

$\int d^3r \left[ w^*(\vec{R_i}-\vec{r}) w(\vec{R_j}-\vec{r}) \right] = \delta_{ij}$

Из первого принципа можно определить производную как

$\vec{\nabla}w(\vec{R}_i) = \frac{\vec{d}}{d} [w(\vec{R}_i + \vec{d}) - w(\vec{R}_i)]/d$

В принципе, это определение справедливо только для$d\rightarrow 0$. На практике мы используем его, когда$d$это расстояние между двумя ближайшими соседями. ($\vec{d} = d_x \hat{e}_x + d_y \hat{e}_y + d_z \hat{e}_z$)

Теперь мы можем записать операторы импульса как

$\hat{p}_x \Psi = -i \partial_x \sum_i c_i w(\vec{R}_i) = -i \sum_i c_i \hat{e}_x.\vec{\nabla}w(\vec{R}_i) = -i \sum_i c_i \frac{d_x}{d^2}(w(\vec{R}_i+\vec{d})-w(\vec{R}_i))$

Здесь я не пишу переменную$\vec{r}$и$\hbar$. Используя это, чтобы оценить внутренний продукт

$\int d^3r \left[ \Psi^\dagger(\vec{r}) \hat{p}_x \Psi(\vec{r})\right] = -i \sum_{i,j} c_i^\dagger c_j \int d^3r \frac{d_x}{d^2}\left[ w^*(\vec{R}_i)(w(\vec{R}_j+\vec{d})-w(\vec{R}_j) \right]$

Из-за ортонормированности функций Ванье это дает конечный вклад только тогда, когда$\vec{R}_j= \vec{R}_i + \vec{d}$. Поэтому сумма по всем$i,j$эффективно сводится к суммированию по всем$i$и его первые ближайшие соседи. Чтобы обозначить, что я использую$\langle i,j\rangle$в качестве индекса суммирования.

Поэтому мы получаем

$\int d^3r \left[ \Psi^\dagger(\vec{r}) \hat{p}_x \Psi(\vec{r})\right] = -i \sum_{\langle i,j\rangle} c_i^\dagger c_j \frac{d_x}{d^2}$

$\int d^3r \left[ \Psi^\dagger(\vec{r}) \hat{p}_y \Psi(\vec{r})\right] = -i \sum_{\langle i,j\rangle} c_i^\dagger c_j \frac{d_y}{d^2}$

Комбинируя их

$i \gamma \int d^3 r \left[\Psi(\vec{r})(\sigma_y p_x - \sigma_x p_y) \Psi (\vec{r})\right]\\ = \frac{\gamma}{d^2} \sum_{\langle i,j\rangle} c_i^\dagger (\sigma_y d_x - \sigma_x d_y) c_j \\ =\lambda \sum_{\langle i,j\rangle} c_i^\dagger \hat{e}_z.(\vec{d}\times \sigma) c_j$

где$\hat{e}_z = (0,0,1)$- единичный вектор вдоль$z$ось и

$\hat{e}_z.(\vec{d}\times \vec{\sigma}) = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ d_x & d_y & d_z \\ \sigma_x & \sigma_y & \sigma_z \end{vmatrix} = (d_x \sigma_y - d_y \sigma_x)$

Я застрял на этой проблеме несколько недель назад и думаю, что это простой вопрос, но оказывается, что вывод эффекта Рашбы в реальном космосе довольно сложен. Точный гамильтониан, который вы предложили, является всего лишь приближением скачкообразного изменения ближайшего соседа, и действительно существуют другие члены высокого порядка, такие как член скачкообразного изменения следующего соседа. Вывод сильно зависит от того, какие орбитали у вас есть в системе (s, p, d...), и конкретный пример того, как получить гамильтониан Рашбы в реальном пространстве в графах, можно найти в гл. III следующей статьи PRB:

Теория сильной связи спин-орбитальной связи в графинах

Надеюсь, этот ответ будет полезен :)