Симметрия гамильтониана Блоха

То, что гамильтониан сохраняет симметрию, означает

$$[H, C] = 0 \Rightarrow CHC^\dagger = CHC^{-1} = H$$ Для унитарного оператора симметрии $C$(или антиунитарное, если это обращение времени).

Гамильтониан системы кристаллического конденсированного состояния, записанный в терминах матрицы Блоха, имеет вид:

$$H = \sum_{\vec k} \psi^\dagger(\vec k) H(\vec k) \psi(\vec k)$$ Где $$\psi(\vec k) = \begin{pmatrix} \vdots \\ c_i(\vec k) \\ \vdots \end{pmatrix}.$$ И $c_i(\vec k)$являются аннигиляторами для электронов в $\vec k$в состоянии $i$(который представляет собой комбинированный индекс спина и полосы). Как $C$применяется к $\vec k$, это должна быть пространственная симметрия (то есть симметрия решетки).

Преобразование$\psi(\vec k)$под$C$легко получается аргументом.$C$является пространственным преобразованием, поэтому$C\psi(\vec k)C^{-1}$делает следующее:

1. координаты трансформируются.
2. частица с импульсом$\vec k$уничтожается в новых координатах.
3. пространственное вращение отменяется, оставляя частицу с импульсом$C \vec k$уничтожен в исходных координатах.

Я эффект это означает, что$C\psi(\vec k)C^{-1} = \psi(C\vec k)$.

Используя приведенные выше результаты:

$$H = CHC^{-1} = \sum_{\vec k} C\psi^\dagger(\vec k)C^{-1}C H(\vec k) C^{-1}C \psi(\vec k)C^{-1}.$$ Как $C\psi(\vec k)C^{-1} = \psi(C\vec k)$, $C H(\vec k) C^{-1} = H(C\vec k)$должно выполняться, чтобы обеспечить равенство $H$(что затем показано путем переименования переменной суммирования $\vec k' = C\vec k$).