Имеют ли системы с железнодорожными переездами неустойчивые собственные базы?

Нет, собственный базис не является неустойчивым, поскольку гамильтониан приближается ко времени пересечения уровней, и это можно увидеть, рассмотрев адиабатическое приближение, которое отделяет два пересекающихся уровня энергии от остальных$\def\ket#1{|#1\rangle}\def\bra#1{\langle#1|}.$

Как можно обмануться, думая, что собственный базис нестабилен

Во-первых, подумайте, почему можно подумать, что собственные векторы по своей природе нестабильны. Позволять$\ket{E_0}, \ket{E_1}$быть$E_0$-собственный вектор и$E_1$-собственный вектор соответственно, и пусть$R: \mathbb C^2 \to \mathcal H$быть отображением оператора$\ket0 \mapsto \ket{E_0}$и$\ket{1} \mapsto \ket{E_1}$соответственно. Скорость изменения$R$можно представить, что это напрямую связано с тем, как быстро меняются собственные состояния:

$$\ket{\dot E_j} = \tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} \Bigl[ R \ket{j} \Bigr] = \dot R \ket{j} .$$ Обратите внимание, потому что $R^\dagger R = 1$по построению имеем $$0 = \tfrac{\mathrm d}{\mathrm d t} \Bigl[ R^\dagger R \Bigr] = \dot R^\dagger R + R^\dagger \dot R ,$$ что подразумевает, что $R^\dagger \dot R$является антиэрмитовым. Чтобы получить скорость изменения $R$, учтите тот факт, что $$H = R D R^\dagger$$ для $D = \mathrm{diag}(E_0,E_1)$, так что $$\dot H = \dot R D R^\dagger + R \dot D R^\dagger + R D \dot R^\dagger ,$$ откуда следует, что для различных $j,k \in \{0,1\}$, $$\begin{aligned}[b] \bra{E_j} \dot H \ket{E_k} &= \bra{E_j} \dot R D \ket{k} + \bra{j} \dot D \ket{k} + \bra{j} D \dot R^\dagger \ket{E_k} \\&=E_k \bra{j}R^\dagger \dot R \ket{k} + E_j \bra{j} \dot R^\dagger R \ket{k} \\&=(E_k - E_j) \bra{j} R^\dagger \dot R \ket{k} \\&=(E_k - E_j) \bra{E_j} \dot R R^\dagger \ket{E_k}. \end{aligned}$$ Казалось бы, это означает, что если $E_j - E_k$обращается в нуль, то операторная норма $\dot R R^\dagger$(и, таким образом, $\dot R$себя) будет неограниченно увеличиваться, если только перекрестные члены $\dot H$в $\ket{E_j}$-основа также исчезают.

Наблюдение, которое указывает путь вперед

Ключевой вопрос при рассмотрении перекрестных терминов для$\dot H$в$\ket{E_j}$-базис: как определить этот базис для начала, чтобы оценить перекрестные термины? Не имея возможности найти собственные состояния для моментов времени, приближающихся к пересечению, у нас остается только время самого пересечения — и, что особенно важно, собственное пространство здесь вырождено, а это означает, что только потому, что мы имеем в виду один собственный базис, не делает это физически разумный выбор.

Моя первоначальная гипотеза (в предыдущем редактировании вопроса) не касалась проектора.$\Pi$на$\mathrm{span}\{\ket{E_0},\ket{E_1}\}$. Но потом мне пришло в голову, что неважно,$\dot H$не удается добраться с$H$если это потому, что некоторые из других собственных состояний$H$не являются собственными состояниями$\dot H$. Что действительно важно, так это то,$\dot H$не удается, поскольку только два пересекающихся собственных значения (как бы говоря) коммутируют с$H$. Итак, что нас действительно волнует, так это подпространство, охватываемое$\ket{E_0}$и$\ket{E_1}$, что приводит к модификации гипотезы с помощью проектора$\Pi$. Но во время переправы$\Pi H = E_0 \Pi$тем самым: в подпространстве оно пропорционально тождеству, коммутирующему со всем. Таким образом, у нас будет

$$0 = [H, \Pi \dot H] = H \Pi \dot H - \Pi \dot H H = \Pi [H, \dot H].$$ То есть условия гипотезы всегда будут выполняться, что должно указывать на то, что беспокойство ни о чем.

Адиабатическое ограничение: набросок

Если другие собственные значения$H$ограничены вдали от$E_0$и$E_1$постоянным рядом с перекрестком, мы действительно не возражаем против того, в какой степени$\ket{\dot E_j}$для$j \in \{0,1\}$перекрывает другие собственные векторы$H$: согласно приведенному выше анализу мы ожидаем, что они будут делать это в конечной степени. Нас интересует только величина$\bra{E_j} \dot H \ket{E_k}$. Таким образом, мы можем полностью ограничить наше внимание эффективной связью$\ket{E_0}$и$\ket{E_1}$к$\dot H$, что означает, что мы можем фактически заменить$\dot H$с$\Delta = \Pi \dot H \Pi$.

Сделав это, мы теперь фактически имеем эрмитов оператор$\Delta$на двумерном подпространстве, которое, очевидно, имеет два собственных вектора, охватывающих пространство. Это два общих собственных вектора$\ket{\delta_0}, \ket{\delta_1}$из$\dot H$и$H$на железнодорожном переезде и перекрестках$\dot H$между этими двумя векторами будет равен нулю вблизи железнодорожного переезда.

Два вектора$\ket{\delta_0},\ket{\delta_1}$не могут быть собственными векторами$\dot H$, но они позволяют нам видеть, что$R^\dagger \dot R$может иметь ограниченную операторную норму в окрестности времени$T$железнодорожных переездов, когда они ограничены$\mathrm{span} \{ \ket{E_0}, \ket{E_1} \}$, если$\ket{E_0} = \ket{\delta_0}$и$\ket{E_1} = \ket{\delta_1}$вовремя$T$. Для$t$рядом с$T$, адиабатический аргумент показал бы, что$\ket{E_0}$и$\ket{E_1}$в основном не будет взаимодействовать с другими собственными энергетическими состояниями, если эволюция будет достаточно медленной, так что мы ожидаем$\ket{\delta_0}, \ket{\delta_1}$почти быть собственными векторами$H$для$t \approx T$. Возник вопрос, как быстро$\ket{E_j}$сходится к$\ket{\delta_j}$, который определяет, как быстро кросс-члены$\bra{E_j} \dot H \ket{E_k}$исчезнуть; однако большие перекрестные члены будут соответствовать большим собственным значениям$\Delta \propto \Pi H \Pi + \text{const.}$, что должно вызвать$R^\dagger \dot R$быстро сходиться к операторной диагонали в$\ket{\delta_j}$-основа.

Коэффициенты$R^\dagger \dot R$поскольку другие энергетические уровни в собственном энергетическом базисе должны быть ограничены либо из-за пробелов в собственных значениях между ними, либо по аналогичным причинам, если они имеют собственные пересечения уровней.

Так что нет: нестабильности собственного базиса быть не должно.