Вычисление коммутатора оператора Паули-Любанского и образующих группы Лоренца

Возможно, ответ будет бесполезен для автора вопроса, но важен для других людей, которые хотят вывести это выражение. [:)].

Первый метод .

Я намекнул: легко показать, что

$$\hat {W}^{\mu}\hat {P}_{\mu} = \frac{1}{2}\varepsilon^{\mu \alpha \beta \gamma}\hat {J}_{\alpha \beta}\hat {P}_{\gamma }\hat {P}_{\mu} = 0$$ как свертка симметричных $\hat {P}_{\gamma }\hat {P}_{\mu}$и антисимметричный $\varepsilon^{\mu \alpha \beta \gamma}$.

Итак, коммутатор

$$[\hat {J}_{\kappa \lambda}, \hat {W}^{\mu}\hat {P}_{\mu}] = 0. \qquad (.1)$$ Но с другой стороны $$[ \hat {J}_{\kappa \lambda}, \hat {W}^{\mu}\hat {P}_{\mu}] = \hat {W}^{\mu}[ \hat {J}_{\kappa \lambda}, \hat {P}_{\mu}] + [\hat {J}_{\kappa \lambda }, \hat {W}^{\mu}]\hat {P}_{\mu} = -\hat {W}^{\mu}i(g_{\mu \kappa }\hat {P}_{\lambda} - g_{\mu \lambda}\hat {P}_{\kappa }) + [\hat {J}_{\kappa \lambda }, \hat {W}^{\mu}]\hat {P}_{\mu} .$$ Итак, с помощью $(.1)$из предыдущей формулы следует следующая: $$[\hat {J}_{\kappa \lambda }, \hat {W}^{\mu}]\hat {P}_{\mu} = i\hat {W}^{\mu}(g_{\mu \kappa }\hat {P}_{\lambda} - g_{\mu \lambda}\hat {P}_{\kappa }) = i(\hat {W}_{\kappa}\hat {P}_{\lambda} - \hat {W}_{\lambda}\hat {P}_{\kappa}) = i\left(\hat {W}_{\kappa}\delta^{\mu}_{\lambda} - \hat {W}_{\lambda}\delta^{\mu}_{\kappa}\right)\hat {P}_{\mu},$$ куда $\delta^{0}_{0} = 1, \delta^{i}_{i} = -1$,

и наконец,

$$[\hat {J}_{\kappa \lambda }, \hat {W}^{\mu}] = i\left(\hat {W}_{\kappa}\delta^{\nu}_{\lambda} - \hat {W}_{\lambda}\delta^{\mu}_{\kappa}\right) \Rightarrow [\hat {J}_{\kappa \lambda }, \hat {W}_{\mu}] = i\left(\hat {W}_{\kappa}g_{\mu \lambda} - \hat {W}_{\lambda}g_{\mu \kappa}\right).$$

Второй метод .

Он похож на метод QMechanic. Пусть есть общая матрица преобразования Пуанкаре$U (\hat {\Lambda}, a^{\mu})$, куда$a$трансляционная 4-векторная и$\hat {\Lambda}$представляет собой матрицу трех вращений и преобразований Лоренца. Благодаря этому преобразованию,

$$\hat {J}_{\mu \nu} \Rightarrow U (\hat {\Lambda}, a^{\mu}) J^{\mu \nu}U (\hat {\Lambda}, a^{\mu})^{+} = \Lambda^{\mu}_{\rho}\Lambda^{\nu}_{\sigma}\hat {J}^{\rho \sigma} + a^{\mu}\Lambda^{\nu}_{\rho }\hat {P}^{\rho} - a^{\nu}\Lambda^{\mu}_{\rho}\hat {P}^{\rho },$$ $$\hat {P}^{\mu} \Rightarrow \Lambda^{\mu}_{\nu}\hat {P}^{\nu}.$$ Используя эти правила преобразования, вы можете получить $$U (\hat {\Lambda}, a) W_{\mu} U (\hat {\Lambda}, a)^{+} = \frac{1}{2} \varepsilon_{\mu \nu \rho \sigma}\left( \lambda^{\nu}_{\alpha}\Lambda^{\rho}_{\beta}\hat {J}^{\alpha \beta} + a^{\nu}\Lambda^{\rho}_{\alpha }\hat {P}^{\alpha} - a^{\rho}\Lambda^{\nu}_{\rho}\hat {P}^{\rho }\right) \Lambda^{\sigma}_{\delta}\hat {P}^{\delta } =$$ $$=\frac{1}{2}\Lambda^{\alpha}_{\mu}\varepsilon_{\alpha \nu \rho \sigma }\hat {J}^{\nu \rho} \hat {P}^{\sigma} = \Lambda^{\alpha}_{\mu} \hat {W}_{\alpha}.$$ Так $$\frac{i}{2}[\hat {J}_{\mu \nu}, \hat {W}_{\sigma }] = \omega^{\mu \nu}g_{\sigma \mu}\hat {W}_{\nu} = \frac{1}{2}(g_{\sigma \mu}\hat {W}_{\nu} - g_{\sigma \nu}\hat {W}_{\mu})\omega^{\mu \nu},$$ что приводит к целевому выражению.

В общем случае это означает, что все 4-операторные$\hat {A}_{\gamma}$коммутирует с$\hat {J}_{\alpha \beta}$в качестве$i(g_{\gamma \alpha}\hat {A}_{\beta} - g_{\gamma \beta}\hat {A}_{\alpha})$, потому что$\hat {J}_{\alpha \beta}$представляет образующие группы Лоренца. Кроме того, это означает, что коммутатор$\hat {J}_{\alpha \beta }$с каждым 4-скаляром даст ноль.

Вот возможная стратегия:

1. Рассмотрим произвольную (бесконечно малую) вещественную антисимметричную матрицу

   $$\tag{1}\omega^{\mu\nu}~=~-\omega^{\nu\mu}.$$

2. Определять

   $$\tag{2}\omega^{\mu}{}_{\lambda}~:=~\omega^{\mu\nu}{}\eta_{\nu\lambda}.$$

3. Определять

   $$\tag{3}M~:=~ \frac{i}{2}M_{\mu\nu}\omega^{\nu\mu}.$$

4. Тогда уравнения ОП можно переформулировать как:

   $$\tag{4}W^{\alpha} ~:=~ \frac{1}{2}\varepsilon^{\alpha\beta\mu\nu}P_{\beta}M_{\mu \nu},$$ $$\tag{5} [P_{\alpha}, M]~=~P_{\beta}\omega^{\beta}{}_{\alpha},$$ $$\tag{6} [M_{\mu\nu}, M]~=~M_{\mu\lambda}\omega^{\lambda}{}_{\nu}- (\mu \leftrightarrow \nu),$$ $$\tag{7} [W^{\alpha}, M]~=~-\omega^{\alpha}{}_{\beta}W^{\beta}. \qquad\qquad(*)$$

5. В частности, обратите внимание, что вопрос ОП (v2) можно переформулировать как «Как доказать уравнение». (7)?

6. Задайте экспоненциальную матрицу

   $$\tag{8} A^{\alpha}{}_{\beta}~:=~(e^{\omega})^{\alpha}{}_{\beta}~:=~ \delta^{\alpha}_{\beta} + \omega^{\alpha}{}_{\beta}+ \frac{1}{2}\omega^{\alpha}{}_{\gamma} \omega^{\gamma}{}_{\beta} + {\cal O}(\omega^3).$$

7. Разверните следующую детерминантную идентичность

   $$\tag{9} A^{\alpha}{}_{\alpha^{\prime}}A^{\beta}{}_{\beta^{\prime}}A^{\mu}{}_{\mu^{\prime}}A^{\nu}{}_{\nu^{\prime}}\varepsilon^{\alpha^{\prime}\beta^{\prime}\mu^{\prime}\nu^{\prime}} ~=~\det(A)\varepsilon^{\alpha\beta\mu\nu}$$ на первый заказ в$\omega$чтобы вывести следующее тождество трассировки $$\tag{10} \omega^{\alpha}{}_{\alpha^{\prime}}\varepsilon^{\alpha^{\prime}\beta\mu\nu} +\omega^{\beta}{}_{\beta^{\prime}}\varepsilon^{\alpha\beta^{\prime}\mu\nu} +\omega^{\mu}{}_{\mu^{\prime}}\varepsilon^{\alpha\beta\mu^{\prime}\nu} +\omega^{\nu}{}_{\nu^{\prime}}\varepsilon^{\alpha\beta\mu\nu^{\prime}} ~=~{\rm tr}(\omega)\varepsilon^{\alpha\beta\mu\nu},$$ с помощью детерминантно-следового тождества $$\tag{11} \det(e^{\omega}) ~=~e^{{\rm tr}(\omega)}.$$ уравнение (10) можно рассматривать как бесконечно малую версию уравнения (9), но из-за линейности уравнения. (10) действительно верно для любого$^1$конечный$4\times 4$матрица.

8. Используя антисимметрию (1) и определение (2), выведите, что след исчезает

   $$\tag{12} {\rm tr}(\omega)~:=~\omega^{\mu}{}_{\mu}~=~0.$$

9. Наконец, используйте уравнения. (4), (5), (6), (10) и (12), чтобы доказать искомое уравнение. (7):

   $$2[W^{\alpha}, M]~=~\varepsilon^{\alpha\beta\mu\nu}\left([P_{\beta},M] M_{\mu\nu}+P_{\beta} [M_{\mu\nu},M] \right)$$ $$~=~\varepsilon^{\alpha\beta\mu\nu} \left( P_{\lambda} \omega^{\lambda}{}_{\beta} M_{\mu\nu} - P_{\beta} M_{\nu\lambda} \omega^{\lambda}{}_{\mu} + P_{\beta} M_{\mu\lambda} \omega^{\lambda}{}_{\nu} \right)$$ $$~=~ \left( \omega^{\beta}{}_{\beta^{\prime}}\varepsilon^{\alpha\beta^{\prime}\mu\nu} +\omega^{\mu}{}_{\mu^{\prime}}\varepsilon^{\alpha\beta\mu^{\prime}\nu} +\omega^{\nu}{}_{\nu^{\prime}}\varepsilon^{\alpha\beta\mu\nu^{\prime}} \right) P_{\beta}M_{\mu \nu}$$ $$\tag{13}~=~ -\omega^{\alpha}{}_{\alpha^{\prime}}\varepsilon^{\alpha^{\prime}\beta\mu\nu} P_{\beta}M_{\mu \nu} ~=~ -2\omega^{\alpha}{}_{\beta}W^{\beta}.$$

---

$^1$В качестве альтернативы можно установить ур. (10) чисто комбинаторными рассуждениями, без помощи уравнения. (9).

Первые четыре члена вашего вычисления исчезают. Их можно привести к виду (используя антисимметрию эпсилона и М)

$\epsilon^{\alpha\beta\nu}_\rho M_{\nu\sigma}-\epsilon^{\alpha\beta\nu}_\sigma M_{\nu\rho}$Если вы вставите цифры для индексов, вы быстро увидите, что это отменяется. Затем два других условия должны дать желаемый результат.

Уловка, которую можно использовать для двух других терминов (подробнее см. Википедию)

$\epsilon_{a1,a2,...,an}=\epsilon_{b1,b2,...,bn}\delta_{a1}^{b1}...\delta_{an}^{b1}$

Вы можете переписать вектор Паули-Любански как$W_{\mu}=(W_0,\mathbf{W})$и сначала докажите следующие тождества

$$P\cdot W=0,\quad W_0=\mathbf{P}\cdot\mathbf{J},\quad \mathbf{W}=P_0\mathbf{J}-\mathbf{P}\times\mathbf{K}$$ куда $\mathbf{P}$, $\mathbf{J}$, а также $\mathbf{K}$определяются как (я не уверен, используем ли мы одни и те же соглашения) $$\mathbf{P}=\left\{P^1,P^2,P^3\right\},\quad \mathbf{J}=\left\{M^{32},M^{13},M^{21}\right\},\quad \mathbf{K}=\left\{M^{01},M^{02},M^{03}\right\}$$ Затем доказательства для $[W^0,M^{\rho\sigma}]$а также $[W^i,M^{\rho\sigma}]$станет намного легче.

Я нашел более прямой способ решить ......

$$\mathrm{R.H.S.}=g^{\mu \rho} W^{\sigma}-g^{\mu \sigma} J^{\rho}=-\frac{1}{2} \epsilon^{\rho \sigma \alpha \beta} \epsilon_{\theta \tau \alpha \beta} g^{\mu \theta} W^{\tau}=-\frac{1}{4} \epsilon^{\rho \sigma \alpha \beta} \epsilon_{\theta \tau \alpha \beta} g^{\mu \theta} \epsilon_{\phantom{\tau}\nu \iota \lambda}^{\tau} P^{\nu} J^{\iota \lambda}=-\frac{1}{2} \epsilon^{\rho \sigma \alpha \beta}\left(P^{\mu} J_{\alpha \beta}+P_{\alpha} J_{\beta}^{\phantom{\beta}\mu}-P_{\beta} J_{\alpha}^{\phantom{\alpha}\mu}\right)$$ $$\mathrm{L.H.S}=\frac{1}{2} \epsilon_{\phantom{\mu}\kappa \iota \nu}^{\mu}\left[P^{\kappa}\left(g^{\nu \rho} J^{\iota \sigma}-g^{\iota \rho} J^{\nu \sigma}-g^{\sigma \iota} J^{\rho \nu}+g^{\sigma \nu} J^{\rho \iota}\right)+\left(g^{\kappa \rho} P^{\sigma}-g^{\kappa \sigma} P^{\rho}\right) J^{\iota \nu}\right] =\epsilon^{\mu \rho \kappa \iota} P_{\kappa} J_{\iota}^{\phantom{\iota}\sigma}-\epsilon^{\mu \sigma \kappa \iota} P_{\kappa} J_{\iota}^{\phantom{\iota}\rho}+\frac{1}{2}\left(\epsilon^{\mu \rho \iota \nu} P^{\sigma} J_{\iota \nu}-\epsilon^{\mu \sigma \iota \nu} P^{\rho} J_{\iota \nu}\right).$$ То есть доказать: $$\frac{1}{2} \epsilon^{\alpha \beta\{\rho \sigma} P^{\mu\}} J_{\alpha \beta}+\epsilon^{\alpha \beta\{\rho \sigma} P_{\alpha} J_{\beta}^{\phantom{\beta}\mu\}}=0.$$ куда$f^{\{abc\}} = f^{abc}+f^{bca} +f^{cab}.$очевидно, это было эквивалентно： $$\epsilon_{\theta \kappa \iota \tau} \epsilon^{\theta \rho \sigma \mu} \epsilon_{\alpha \beta}^{\phantom{\alpha\beta}\kappa \iota}\left(P^{\tau} J^{\alpha \beta}+P^{\alpha} J^{\beta \tau}+P^{\beta} J^{\tau \alpha}\right)=0.$$ таким же образом: $$\epsilon^{\theta \kappa \iota \tau} \epsilon_{\theta \rho \sigma \mu} \epsilon_{\phantom{\alpha\beta}\kappa \iota}^{\alpha \beta} \epsilon^{\mu \nu \lambda \omega} \epsilon_{\mu \tau \alpha \beta} P_{\nu} J_{\lambda \omega}=0.$$ грех$\epsilon^{\theta \kappa \iota \tau} \epsilon_{\phantom{\alpha\beta}\kappa \iota}^{\alpha \beta} \epsilon_{\mu \tau \alpha \beta}=0$, исходное предложение доказано.