Как увидеть, что FFF FFF dual — поверхностный термин?

Чтобы дополнить доказательства Накахары и Ногейры, когда я делал эти вычисления, самой загадочной частью было происхождение$\frac{2}{3}$перед$A\wedge A\wedge A$, но это легко узнать:

$$\begin{align*} Tr[F\wedge F] =&\ Tr\left[dA\wedge dA+dA\wedge A\wedge A +A\wedge A\wedge dA+A\wedge A\wedge A\wedge A\right] \\[0.5em] =&\ Tr\left[dA\wedge dA+2dA\wedge A\wedge A\right] \\ =&\ Tr\left[dA\wedge dA+\frac23(dA\wedge A\wedge A -A\wedge dA\wedge A+A\wedge A\wedge dA)\right] \\ =&\ Tr\left[d(A\wedge dA)+\frac23d(A\wedge A\wedge A)\right] \\ =&\ d\ Tr\left[A\wedge dA+\frac23A\wedge A\wedge A\right] \end{align*}$$

где ключевой момент в том, что$Tr[dA\wedge A\wedge A]=-Tr[A\wedge dA\wedge A]=Tr[A\wedge A\wedge dA]$, в чем легко убедиться из цикличности следа и антисимметричности произведения клина (напомним, что$A$матричнозначны, а не$\mathbb{R}$-значные 1-формы).

Это показывает, что плотность Понтрягина$Tr[F\wedge F]$является точным и что его порождающая форма является термом Черна-Саймонса.

С точки зрения компонентов$A=A_\mu dx^{\mu}$, у нас есть

$$\\\ \frac{\theta}{2\pi}\mathrm{tr}\left[F\wedge F\right]=\frac{2\theta}{\pi}\mathrm{tr}\left[\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}(\partial_{\mu} A_{\nu}+A_{\mu}A_{\nu})(\partial_{\rho} A_{\sigma}+A_{\rho}A_{\sigma})\right] \\\\ $$ А потом $$\frac{\theta}{2\pi}\mathrm{tr}\left[F\wedge F\right]=\frac{2\theta}{\pi}\mathrm{tr}\left[\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_{\mu}(A_\nu\partial_\rho A_\sigma+\frac{2}{3}A_{\nu}A_\rho A_\sigma)\right]+\frac{2\theta}{\pi}\mathrm{tr}\left[A_{\mu}A_{\nu}A_\rho A_\sigma\right]\varepsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$$

циклическими перестановками на$\nu$,$\rho$,$\sigma$и тот факт, что$\partial_\mu \partial_\nu$симметричен. Теперь последний член исчезает, поскольку циклическая перестановка четного числа элементов всегда нечетна (в данном случае четыре элемента).