Как сокращаются непоперечные поляризации фотонов в евклидовой КЭД?

Во-первых, вспомним, как ковариантно записывать амплитуды рассеяния в Минковской КЭД.

Начнем с рассмотрения некоторого процесса с внешним фотоном, импульс которого выбран равным$k^\mu=(k,0,0,k)$и пусть два вектора поперечной поляризации равны$\epsilon^\mu_1=(0,1,0,0)$и$\epsilon_2^\mu=(0,0,1,0)$. Тождество Уорда говорит нам, что если амплитуда процесса равна$\mathcal M=\mathcal M^\mu \epsilon_\mu(k)$, где мы вынесли из рассмотрения вектор поляризации внешнего фотона, то амплитуда подчиняется$\mathcal M^\mu k_\mu=0$, на оболочке. С нашей настройкой это просто говорит нам$\mathcal M^0=\mathcal M^3$. Если мы затем вычислим квадрат амплитуды и просуммируем физические внешние поляризации, мы найдем$|\mathcal M|^2=\sum_{i\in\{1,2\}}\epsilon_{i\mu}\epsilon_{i\nu}^*\mathcal M^μ\mathcal M^{ν*}=|\mathcal M^1|^2+|\mathcal M^2|^2$. В силу тождества Уорда это равно$−\eta_{\mu\nu}\mathcal M^\mu\mathcal M^\nu$, с$\eta_{\mu\nu}={\rm diag}(1,-1,-1,-1)$, и поэтому мы можем сделать замену$\sum_{i\in\{1,2\}}\epsilon_{i\mu}\epsilon_{i\nu}^*\to-\eta_{\mu\nu}$Таким образом, именно тождество Уорда позволяет нам ковариантно записывать амплитуды рассеяния.

Как это обобщается на евклидов случай, когда метрика$\delta_{\mu\nu}={\rm diag}(1,1,1,1)$? Наивно нам нужна неевклидова сигнатура, чтобы воспроизвести сокращение между явно положительными квадратами матричных элементов, как найдено выше, так как же эта процедура обобщается на евклидов случай? То есть, если истинная амплитуда рассеяния в евклидовом случае по-прежнему$|\mathcal M^1|^2+|\mathcal M^2|^2$тогда кажется, что это не может быть эквивалентно$\delta_{\mu\nu}\mathcal M^\mu\mathcal M^{\nu *}$для любых отношений типа идентичности Уорда между$\mathcal M^\mu$, поэтому было бы невозможно записать амплитуду рассеяния явно ковариантным образом.

Что происходит? Я упускаю что-то очевидное? Изменяются ли степени свободы фотона при переходе в евклидово пространство или что-то в этом роде?