Что математически представляют квантовые поля?

Небольшое предостережение: квантовые поля — это способ организации генераторов алгебры наблюдаемых. Сами они могут не быть наблюдаемыми. Настоящие наблюдаемые - это такие вещи, как$\phi(f)$, скорее, чем$\phi$.

По вашему основному вопросу: Вы правы. Состояния - это единичные векторы в гильбертовом пространстве, на которые действуют наблюдаемые. Они не являются локальными в пространстве. Действительно, они кодируют глобальную информацию, такую ​​как общий заряд и запутанность между далеко разнесенными вещами. Рассмотрим состояние вакуума: оно знает, что нигде ничего нет.

Так как же согласовать эту картину с квантовой механикой? Ответ заключается в том, что в квантовой механике пространство-время — это просто одномерное временное многообразие. Что касается формализма, наблюдаемые не параметризуются пространственным многообразием. (Подумайте о квантовой механике внутреннего спина электрона. Наблюдаемый спин — это просто вверх или вниз; он вообще не относится к местоположению в пространстве.)

Во-первых, я хотел бы отметить, что большая часть всех сложных математических трудностей, с которыми сталкивается «на практике» квантовая теория поля, на самом деле больше связана с попыткой иметь дело с полями, которые взаимодействуют друг с другом и, таким образом, не взаимодействуют друг с другом . Это действительно имеет так много общего с тем, как и о чем, как я полагаю, вы спрашиваете, а именно с тем, чтобы узнать концептуальное ядро ​​того, что такое квантовое поле. А это, к счастью, намного проще.

Квантовое поле — это квантово-механическая версия классического поля, представляющая собой систему, в которой мы приписываем некоторую величину — в фундаментальной физике это могут быть векторы электрического и магнитного полей, но в более высоких приложениях это может быть, скажем, поле звуковой волны в пределах твердой среды, величина, представляющая относительное сжатие материала - в каждой точке пространства. То есть классическое поле — это просто функция

$$\phi(P)$$

точки$P$в космосе. С точки зрения координат в трехмерном пространстве мы запишем это как функцию трех аргументов:

$$\phi(x, y, z)$$

если мы используем декартовы координаты для каждой точки, так что$P = (x, y, z)$, например. Значение, возвращаемое этой функцией, является значением величины поля в этой конкретной точке, например, электрическое поле 5 В/м (для простоты игнорируя векторный материал) или увеличение давления на 5 Па (опять же, игнорируя более технические аспекты). сложность).

Так что же происходит в квантовой механике? Что ж, в квантовой механике, точно так же, как когда мы развиваем квантовую теорию движущейся частицы, т. е. частицы с положением и скоростью, мы должны преобразовать эту величину в квантовый оператор: мы еще не знаем, какой именно, но сначала просто объявим это. Теперь возвращаемое значение$\phi(P)$больше не имеет типа «реальный», но имеет какой-то тип оператора, и поэтому он получает шляпу:

$$\hat{\phi}(x, y, z)$$

и фактически у нас есть поле операторов , по одному в каждой точке. Тогда каждый оператор должен оперировать некоторым квантовым вектором$|\psi\rangle$, представляющий знание агента обо всем поле, так что из него можно вывести волновую функцию значения поля

$$[\psi(x, y, z)](\phi)$$

который дает распределение вероятностей, описывающее, что известно о значении поля$\phi$в точку$(x, y, z)$. (Обратите внимание, что это «карри-функция»; мне они нравятся, потому что они придают ей форму, которая делает происходящее более понятным — мы получаем функцию плотности вероятности (pdf) по значениям поля.$\phi$конкретно по делу$(x, y, z)$.).

Итак, часть 1:$\hat{\phi}(x, y, z)$вот что составляет «наблюдаемые» для квантового поля. Но на самом деле это не дает нам достаточного понимания следующей части вопроса, а именно того, как мы строим часть гильбертова пространства. Однако сначала я хочу сделать замечание: хотя мы собираемся это сделать, технически учитываются только операторы , превышающие это значение, и все можно сделать в их терминах, гильбертово пространство — это просто математическая чепуха, облегчающая задачу. работать с. Таким образом, вы могли бы сказать: «Мы закончили здесь», но тем не менее мы можем это сделать.

Чтобы увидеть, как это сделать, вы должны заметить, что в каком-то смысле вы можете рассматривать поле как обычную многочастичную квантовую систему с бесчисленным набором отдельных «частиц» (это НЕ обычные частицы, такие как электроны, фотоны и т. д., но что-то более математическое), каждый из которых соответствует отдельной точке пространства-времени.$(x, y, z)$и чья "позиция" является значением поля$\phi(x, y, z)$. Следовательно, так же, как, скажем, для 2 частиц, у вас есть двухчастичная волновая функция

$$\psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2)$$

с двумя компонентами положения, здесь у вас есть$\psi$который принимает несчетное количество компонентов положения, все индексированные координатами$(x, y, z)$или, по сути, волновая функция, которая принимает функцию, которая является классической конфигурацией поля$\phi(x, y, z)$. Таким образом, такая «волновая функция» также называется волновым функционалом и записывается

$$\psi[\phi]$$

для этого квантового поля. Тогда действие полевого оператора$\hat{\phi}(x, y, z)$на таком$\psi$дан кем-то

$$[\hat{\phi}(x, y, z)\psi][\phi] = \phi(x, y, z) \cdot \psi[\phi]$$

как только

$$[\hat{\mathbf{r}}_1 \psi](\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) = \mathbf{r}_1 \cdot \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2)$$

. Следовательно, гильбертово пространство — это соответствующим образом определенные классы эквивалентности этих волновых функционалов (всё «то же самое вплоть до набора нулевой меры»), а состояния — сопутствующие лучи.

Короче говоря, квантовое поле представляет собой величину поля, квантово-механически нечеткую.

Согласно ответу, указанному выше, я думаю, что квантовые поля, то есть операторнозначные распределения на пространственно-временном многообразии, должны быть объектами, представляющими наблюдаемые, по сравнению с квантовой теорией, где наблюдаемые представлены самосопряженными операторами.

Это заблуждение. квантовые поля в физике элементарных частиц, они используются и в других дисциплинах, представляют собой тип «системы координат», в которой взаимодействия могут быть отображены с использованием диаграмм Фейнмана, чтобы получить вычисляемые величины в виде сечений и распадов, которые можно проверить с помощью измерений. Для частиц в стандартной модели физики элементарных частиц поля определяются с использованием квантово-механических волновых функций плоских волн соответствующих уравнений свободных частиц, над которыми работают дифференциальные операторы рождения и уничтожения. Диаграммы Фейнмана представляют собой представление интегралов, необходимых для вычисления многих взаимодействий тел.

Поля не представляют никаких наблюдаемых величин, это взаимодействия, которые могут предсказать наблюдаемые величины.

Но теперь я озадачен: в квантовой теории волновые функции, представляющие квантовые состояния, имеют «локальное содержание» (поскольку они являются картами, определенными в пространстве),

Волновые функции, будь то простые или использующие КТП, не поддаются измерению. $Ψ^*Ψ$входящими в диаграммы Фейнмана являются измеримые величины.

тогда как наблюдаемые - нет.

Единственные наблюдаемые, предсказываемые квантовой механикой, простой или КТП, связаны с распределениями вероятностей. Квантовая механика предсказывает вероятности с помощью математики волновых функций.

Все КТП подчиняются постулатам квантовой механики.