Что представляют собой кеты на QFT?

Кеты представляют собой конфигурацию поля (и терминология обычно обновляется с «гильбертова пространства» до «пространства Фока»).$\lvert 0 1 0 \cdots 0\rangle$состоит в том, что есть 1 возбуждение (частица) в каком-то месте, указанном вторым местом в этом векторе.

Чтобы объяснить, давайте возьмем простой пример: частица в коробке. Обычно на курсах по квантовой математике вы решаете уравнение Шредингера:

Здесь$\lvert \psi_1\rangle$является четко определенным объектом в квантовой механике отдельных частиц (т.е.$\psi_1(x) = \langle x | \psi_1 \rangle$). Если я решу это уравнение собственного значения для первого:$E_1 = \pi/L$тогда я получаю волновую функцию$\psi_1(x) = \sqrt{\frac2L}\sin(\pi x/L)$. Но хочется больше частиц и удобно думать$\psi_1(x)$как поле сейчас. Я делаю это так, что думаю о большем «фоковском» пространстве, которое также учитывает количество частиц.

Если мы говорим, что это бозоны, то мы используем операторы бозонной лестницы для создания частицы. Итак, скажите, что$a_x^\dagger$создает бозон точно в положении$x$в нашей системе. Ну,$\psi(x)$в нашем бесконечном квадрате колодец находится не в одном месте, он разбросан по всей коробке. Итак, начнем с состояния$\lvert{0}\rangle$в котором нет частиц, и чтобы создать состояние, связанное с нашим решением уравнения Шредингера, мы пишем

Обозначение$\lvert{1 0 0 \cdots}\rangle$теперь у меня есть одна частица на первом энергетическом уровне. На самом деле бозонный оператор, создающий частицу при любой энергии$n\pi/L$просто

где$\psi_n(x)$имеет энергию$n\pi/L$. Вы можете легко убедиться, что это все еще четко определенные операторы бозонной лестницы и$[a_n,a_m^\dagger]=0$если$n\neq m$(магия ортогональности!).

Таким образом, именно в этом смысле кеты теперь являются просто «конфигурациями поля»: так, как я написал кет выше для второго квантованного квадрата.$\lvert 1 2 5 0 0 \cdots \rangle$означает 1 частицу в$\psi_1$, 2 частицы в$\psi_2$и 5 частиц в$\psi_3$. Людям нравится писать этот кет как

где$a$мой полевой оператор. Вот что означают кеты в квантовой теории поля.

Индексы внутри моего кета представляют собой конкретную основу для моих операторов бозонного поля.$a_n$(энергетическая основа). Я мог бы также записать аналогичную величину в базисе позиционного пространства с помощью$a_x^\dagger$и те представляют поле в квантовой теории поля$\Psi(\mathbf r)$.

Но как изменится гамильтониан? Итак, рассмотрим этот объект:

Теперь применим это к нашему кету$\lvert{10\cdots}\rangle$. После некоторой бозонной алгебры мы получаем

Мы нашли наш гамильтониан для второго квантованного пространства кетов! Теперь людям нравится работать с полем, а не с кетами, поэтому люди будут использовать этот гамильтониан.$\mathcal H$с полевым оператором$a_x$чтобы получить его полную эволюцию с картиной Гейзенберга .

Я имею в виду, предположим, что Ψ — квантовое поле, в этом случае Ψ(r) — одна наблюдаемая.

Ψ(r) — операторное поле, а не наблюдаемая величина. Наблюдаемое — это то, что появляется после операции над основным состоянием.

Возьмем поле электрона. Оно описывается математически во всем пространстве-времени, но очевидно, что не все пространство-время заполнено электронами!

Если это так, то Ψ(r) действует на кеты гильбертова пространства.

Свободный электрон, плоская волна в первом квантовании, во втором квантовании представлен операторами рождения электронов, их функция следует, создавая и уничтожая, что в первом квантовании является направлением наблюдаемого электронного волнового пакета. И не забывайте, что всегда есть бегущий интеграл, чтобы получить вероятность конкретного наблюдения, даже свободной частицы.

Но теперь эти кеты представляют именно то, что

Они представляют собой волновую функцию основного состояния первого решения квантования рассматриваемой граничной и потенциальной задачи.

В математическом анализе другого ответа qgp07 нули в длинных кетах являются волновой функцией основного состояния рассматриваемой проблемы.

если сама система теперь представлена ​​через Ψ?

Представлять поле математического оператора через Ψ — плохой выбор, это путает поле с волновой функцией.

Созерцание диаграммы Фейнмана в пространстве может помочь.

Входящие линии появляются в пространстве как математически правильная последовательность создания и уничтожения частицы, которую представляет линия. В точках взаимодействия, которые являются потенциалами при первом квантовании, становятся вершинными функциями и функциями пропагатора под интегралом, который даст вероятность взаимодействия при этом (x,y,z,t). Именно пространство энергии/импульса является наиболее полезной предсказательной функцией диаграмм Фейнмана, и логика та же.

Кеты в КТП принадлежат фоковскому пространству над гильбертовым пространством одночастичных состояний в КМ. В бозонном случае это симметричная алгебра над гильбертовым пространством, а в фермионном случае это антисимметричная алгебра.