Эволюция во времени двухчастичных состояний в КТП в картине Гейзенберга

Ваш вопрос, по-видимому, не имеет ничего общего с квантовой теорией поля, поскольку то же самое может произойти в обычной квантовой механике для любого состояния, которое вы обозначили собственным значением наблюдаемой, зависящей от времени, и, в частности, для зависящих от времени гамильтонианов.

Предположим, у вас есть зависящая от времени наблюдаемая$A(t)$и собственное состояние$\lvert a_1,t_1\rangle$, имеющее собственное значение$a_1$вовремя$t_1$. Теперь вы задаетесь вопросом, как может быть, что у нас есть вероятность обнаружить, что это состояние совпадает с$\lvert a_2,t_2\rangle$для$a_1\neq a_2$, но это вполне возможно. Просто пусть, например,$a_1,a_2$быть$+1/2,-1/2$и разреши$A(t_1)$быть$\sigma_z$и$A(t_2)$быть$-\sigma_z$, т.е.$A$измеряет спин в направлении z в оба раза, но знак меняется между двумя состояниями, и мы имеем$\lvert a_1,t_1\rangle = \lvert a_2,t_2\rangle$.

Теперь, для случая взаимодействующей КТП, о которой вы спрашиваете, вы должны сначала подумать о способе записи того, о чем вы спрашиваете, без изображений: с оператором эволюции во времени "$U(-\infty,\infty)$"и государства$\lvert p_1,p_2\rangle$и$\lvert k_1,k_2,\rangle$, вы хотите вычислить

$$\langle p_1,p_2\vert U(-\infty,\infty)\vert k_1,k_2\rangle$$ и поскольку эволюция во времени вычисляется из зависящего от времени гамильтониана, у вас нет гарантии, что любое из мгновенных собственных состояний $\lvert p_1,p_2\rangle$остается собственным состоянием на протяжении всей эволюции. На самом деле, этого не может быть, если есть ненулевая амплитуда для $k_1\neq p_1$или $k_2\neq p_2$, но в этом нет ничего плохого ни на одной из картинок.

Наконец, позвольте мне заметить, что существование картинок в КТП с самого начала является спорным вопросом из-за теоремы Хаага , делающей невозможным строгое существование унитарной эквивалентности между полями, действующими в асимптотически свободных гильбертовых пространствах, и во взаимодействующих гильбертовых пространствах.

На самом деле это так не работает. Когда вы подготавливаете определенное состояние «входа» для события рассеяния, которое содержит, скажем, n частиц, то в результате рассеяния у вас может быть несколько различных конечных состояний «выхода», содержащих m частиц, где m может отличаться от n. Состояние «включено» должно быть выражено как линейная комбинация всех конечных состояний, поскольку состояние Гейзенберга не должно меняться со временем. Итак, в основном,

$|k_1,….k_n ; in> = \Sigma |p_1,…. p_m ; out> S_{p_1……p_m;k_1….k_n}$

Коэффициент$S_{fi}$элементы матрицы S, которые в основном описывают матричные элементы от начального состояния до конечного состояния. Например, два электрона могут быть рассеяны на два мюона, или два электрона, или что-то еще, но два электрона в начальном состоянии, конечно, будут отличаться от состояния двух электронов в конечном состоянии, так как последнее попало бы в эту линейную комбинацию с матричный коэффициент.

Более того, вы фактически работаете в представлении взаимодействия (за исключением Янга-Фельдмана) в qft, где временная зависимость разделена на две части: временная зависимость невзаимодействующих систем переносится операторами, а остальная временная зависимость берется вектором состояния. Таким образом, вы можете избежать простых проблем, выбрав представление взаимодействия вместо представления Гейзенберга.