В большинстве учебников по физике локальная калибровочная инвариантность просто постулируется — вы начинаете с глобальной симметрии, например глобальной фазы, затем позволяете ей зависеть от пространственно-временной точки, вносите необходимые коррективы в производную (т.е. вводите калибровочное поле) чтобы сохранить инвариантность и вывести, скажем, уравнение Максвелла. Если эта процедура и оправдана, то во многом благодаря ее успехам (которые, безусловно, впечатляют).
Однако время от времени встречаются аргументы, якобы утверждающие, что такая процедура в каком-то смысле необходима из-за требования локальности в теории поля. Вероятно, самый ранний такой аргумент содержится в оригинальной статье Янга и Миллса, где они пишут:
Это означает, что... ориентация изотопического спина не имеет физического значения. Различие между нейтроном и протоном является тогда чисто произвольным процессом. Однако, как это обычно понимается, этот произвол имеет следующее ограничение: если кто-то выбирает, что называть протоном, а что нейтроном, в одной точке пространства-времени, он уже не свободен делать какой-либо выбор в других точках пространства-времени. . Представляется, что это не согласуется с концепцией локализованного поля, лежащей в основе обычных физических теорий.
Подобные аргументы можно найти и в других местах, например, у Дэвида Гросса в «Концептуальных основах квантовой теории поля» , с. 58:
В стандартной модели неабелева калибровочная симметрия определяет электрослабое и сильное взаимодействия. Сегодня мы считаем, что глобальные симметрии неестественны. Они пахнут действием на расстоянии. Теперь мы подозреваем, что все фундаментальные симметрии являются локальными калибровочными симметриями. Глобальные симметрии либо нарушены, либо аппроксимированы, либо являются остатками спонтанно нарушенных локальных симметрий.
Или Санни Ауян в книге « Как возможна квантовая теория поля?» , стр.55:
Если мы решили обозначить определенное состояние как протон в одной пространственно-временной точке, мы не вправе обозначать другое состояние как протон в другом месте. Глобальное соглашение требует, чтобы все полевые операторы совместно использовали общее пространство состояний. Это противоречит духу локальных теорий поля, в которых описания концентрируются на точке и ее бесконечно малой окрестности. Ослабление глобального требования является отправной точкой калибровочных теорий поля.
Однако очевидно, что это несколько эвристические формулировки. Теперь мой вопрос: есть ли способ сделать их более точными? Т.е. существует ли на самом деле какой-то строгий смысл, в котором глобальные симметрии несовместимы с локальной теорией поля? Получаем ли мы какое-то «действие на расстоянии» или какой-то другой конфликт с принципами пространственно-временной локальности?
Или это просто для того, чтобы создать некоторую интуицию, чтобы обеспечить своего рода обоснование того, что преобразование симметрии зависит от точки пространства-времени?
Нет, глобальные симметрии не противоречат локальной теории поля, поскольку глобальные преобразования — это просто калибровочные преобразования, постоянные в пространстве и времени и, таким образом, естественно являющиеся подмножеством калибровочных преобразований. Таким образом, калибровочные симметрии включают глобальную симметрию.
Все эти цитаты призваны показать, почему релаксация от глобальной симметрии к локальной (калибровочной) симметрии кажется естественной с теоретико-полевой точки зрения.
Кеннет Гуденаф
Прахар