Сопряженное решение уравнения Шредингера

Я прочитал несколько других обсуждений этой темы (например, путаница уравнения Шредингера и комплексно-сопряженных уравнений и уравнения Шредингера и его комплексно-сопряженных ), но я все еще не понимаю отношения между решением уравнения Шредингера и сопряженным решением. .

В частности, почему так происходит

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi^*=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi^*-V\psi^*$$ вместо $$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi^*=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi^*+V\psi^*~?$$

С одной стороны я понимаю, что если$z_1=z_2$, затем$z_1^*=z_2^*$. Уравнение Шредингера утверждает эквивалентность двух комплексных чисел. Первый

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}(\psi_x+i\psi_y)=-\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi_y+i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi_x$$

а второй

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi+v\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi_x+v\psi_x+i(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi_y+v\psi_y)$$

Если эти два комплексных числа равны, то равны и их сопряженные

$$-\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi_y-i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi_x=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi_x+v\psi_x-i(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi_y+v\psi_y)$$

Так

$$-i\hbar\frac{\partial}{\partial t}(\psi_x-i\psi_y)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}(\psi_x-i\psi_y)+V(\psi_x-i\psi_y)$$

и

$$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi^*=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi^*-V\psi^*$$

С другой стороны$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi^*$можно вычислить напрямую:

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi^*=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}(\psi_x - i\psi_y)$

$=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi_x-i(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi_y)$

$=(-\frac{\hbar^2 }{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi_x + V\psi_x)-i(-\frac{\hbar^2 }{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi_y + V\psi_y)$

$=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}(\psi_x-i\psi_y)+V(\psi_x-i\psi_y)$

$=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi^*+V\psi^*$

Это противоречит предыдущему результату. Я хорошо знаю, что этот второй аргумент неверен, но я не могу найти свою ошибку. Любая помощь будет оценена по достоинству!