Есть ли способ доказать, что волновая функция связанного состояния всегда может быть выбрана реальной для произвольного потенциала в квантовой механике?

I) Да, независимое от времени уравнение Шрёдингера (TISE) вида

$$\left(-\frac{\hbar^2}{2m} {\bf \nabla}^2 +V({\bf r}) -E \right) \psi({\bf r}) ~=~0$$ является $\mathbb{C}$-линейный и инвариантный $^1$при комплексном сопряжении. Итак, если волновая функция $\psi$является решением с конечной квадратной нормой, то таким же будет $\psi^{\ast}$, $$\frac{\psi+\psi^{\ast}}{2}\quad\text{and}\quad \frac{\psi-\psi^{\ast}}{2i}$$

быть. Два последних являются действительными решениями, и по крайней мере одно из них имеет ненулевую квадратичную норму, если$\psi$имеет ненулевую квадратную норму. Следовательно, мы всегда можем выбрать нормализуемое решение, которое будет реальным. См. также задачу 2.1b в Griffiths, Intro to QM и этот связанный пост Phys.SE.

II) Заметим, что тот же аргумент неприменим к состояниям рассеяния в непрерывном спектре, поскольку граничные условия на бесконечности$\psi^{\ast}$может быть выключен.

Также это не относится к уравнению Шредингера, зависящему от времени (TDSE).

--

$^1$Здесь мы неявно использовали, что собственное значение$E\in\mathbb{R}$действителен, поскольку гамильтониан$H$является самосопряженным. Обратите внимание, что одной самосопряженности недостаточно . Например

$$H~=~\frac{1}{2m}\left(\frac{\hbar}{i} {\bf \nabla}-q {\bf A}({\bf r}) \right)^2 +V({\bf r})$$ является самосопряженным, но соответствующий ТИСЭ не инвариантен относительно комплексного сопряжения.