Решение независимого от времени уравнения Шредингера: имеет ли смысл комплексное решение?

В моих заметках есть независимое от времени уравнение Шрёдингера для свободной частицы.

(1) ∂ 2 ψ ∂ Икс 2 + п 2 ℏ 2 ψ "=" 0

Решение этого дано в моих заметках, как

(2) ψ ( Икс ) "=" С е ( я п Икс ℏ )

Теперь, поскольку (1) является однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами, при имеющихся у нас коэффициентах мы получаем пару комплексных корней:

(3) р 1 , 2 "=" ± я п ℏ

Таким образом, наиболее общее решение выглядит примерно так:

(4) ψ ( Икс ) "=" с 1 потому что ⁡ ( п Икс ℏ ) + с 2 грех ⁡ ( п Икс ℏ )

Однако вместо того, чтобы записать решение в виде косинуса плюс грех, профессор, похоже, взял частный случай общего решения (с с 1 "=" 1 и с 2 "=" я ) и преобразовал полученный

(5) ψ ( Икс ) "=" потому что ⁡ ( п Икс ℏ ) + я грех ⁡ ( п Икс ℏ )
в экспоненциальную форму, используя
(6) е я θ "=" потому что ⁡ θ + я грех ⁡ θ
получить (2).

Главный вопрос, который у меня есть по этому поводу: не должны ли мы искать реальные решения и игнорировать сложные для этой конкретной ситуации? в моем понимании Ψ ( Икс , т ) сложный, но ψ ( Икс ) должно быть реальным. Заранее спасибо.

Волновая функция не должна и не должна быть реальной.
Есть случаи, когда можно обойтись реальной волновой функцией, но сложный случай является более общим и фундаментальным. Гамильтониан свободной частицы ЧАС ^ коммутирует с отражением Икс → − Икс , п → − п , поэтому состояния с импульсами ± п оба решения. В уравнении (2) они выбрали решение, которое является собственным значением оператора импульса п ^ со знаком плюс + . Другой знак также является решением, представляющим собой волну, идущую в противоположном направлении. Ваше реальное решение содержит как волны, движущиеся влево, так и волны, движущиеся вправо.
Если вы посмотрите на поток частиц Дж → ∝ ψ ⋆ ∇ ψ − ψ ∇ ψ ⋆ вы увидите, что реальные волновые функции соответствуют состояниям, в которых нет чистого тока, поэтому вы можете действительно ожидать, что они появятся только тогда, когда у вас есть связанные состояния. Если нет ничего, что могло бы отразить частицу в обратном направлении, то она может уйти в бесконечность, и ток не может исчезнуть, поэтому волновая функция не может быть реальной.
Связано: Книга Гриффитса, Введение в QM, Задача 2.1b, стр. 24; и этот пост Phys.SE.

Ответы (1)

Нет необходимости в решении ψ ( Икс ) быть настоящим. Что должно быть реальным, так это плотность вероятности , которую «несет» ψ ( Икс ) . Каким-то вольным и неточным интуитивным образом вы можете думать о телевизионном изображении, переносимом электромагнитными волнами. Проходящий сигнал сам по себе не является изображением, но он несет его, и вы можете восстановить изображение, правильно декодировав сигнал.

Примерно так же комплексная волновая функция, найденная путем решения уравнения Шредингера, несет информацию о том, «где частица может находиться», но косвенным образом. Информация о плотности вероятности п ( Икс ) нахождения частицы восстанавливается из ψ ( Икс ) просто умножив его на комплексное сопряжение:

ψ ( Икс ) * ψ ( Икс ) "=" п ( Икс )

что дает реальную функцию в результате. Обратите внимание, что это плотность : то, что вы вычисляете в конечном итоге, является вероятностью найти частицу между Икс "=" а и Икс "=" б как ∫ а б п ( Икс ) г Икс

Как известно, при умножении комплексного числа (/функции) на его комплексно-сопряженную информацию о фазе теряется:

р е я θ р е − я θ "=" р 2

По этой причине кое-где можно (не совсем корректно) прочитать, что фаза не имеет физического смысла (см. сноску), и тогда можно задаться вопросом: «Если я в итоге получаю действительные числа, то почему не изобрели теорию, которая непосредственно обрабатывает реальные функции?».

Ответ заключается в том, что, среди прочего, сложные волновые функции делают жизнь интересной, потому что, поскольку уравнение Шредингера является линейным, для его решений выполняется принцип суперпозиции . Волновые функции складываются, и именно в этом дополнении относительные фазы играют наиболее важную роль.

Архетипический случай происходит в эксперименте с двумя щелями. Если ψ 1 и ψ 2 - волновые функции, которые представляют частицу, исходящую из числа дырок 1 и 2 соответственно, окончательная волновая функция

ψ 1 + ψ 2
и, таким образом, плотность вероятности нахождения частицы после того, как она пересекла экран с двумя отверстиями, находится из
п 1 + 2 "=" ( ψ 1 + ψ 2 ) * ( ψ 1 + ψ 2 )

То есть вы должны сначала сложить волновые функции, представляющие отдельные отверстия, чтобы получить объединенную сложную волновую функцию, а затем вычислить плотность вероятности. Кроме того, фазовая информация, переносимая ψ 1 и ψ 2 играют наиболее важную роль, поскольку они порождают интерференционные картины.

Комментарий: Цитируется высказывание Фейнмана : «Одно из несчастий жизни заключается в том, что все называют вещи немного неправильно, и поэтому все в мире становится немного труднее понять, чем если бы оно называлось по-другому». Здесь очень похоже. Во всех книгах написано, что фаза волновой функции не имеет физического смысла. Как видите, это не на 100% правильно.

Решение независимого от времени уравнения Шредингера: имеет ли смысл комплексное решение?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v