Физическая интерпретация комплексных чисел [дубликат]

Комплексные числа широко используются в квантовой механике и волновой форме. Существует ли физическая интерпретация того, что это означает в отношении структуры Вселенной? Почему его не используют в макрофизике?

Неужели физики действительно думают, что называть мнимые числа поворотом на 90 градусов — достаточно хороший ответ? Кажется, оно используется во многих областях для обозначения сходных вещей.

Есть ли объяснение, что делать с измерениями, как я пытался в этом разговоре лучше понять их?

Я думаю, вам следует переформулировать свой вопрос так: «Какова физическая интерпретация амплитуд вероятности?». И честным ответом на это будет: «мы не знаем».
Они используются для «макрофизики» (в зависимости от того, что подразумевается под этим термином), например, для работы с переменным напряжением в электрических системах.
Это, наверное, лучше спросить по математике. Физики печально известны своим «заткнись и считай!» точка зрения...
@Stian Yttervik- я думаю, причина этого в том, что МНОГИЕ люди (не ОП по этому вопросу) как в Интернете, так и в реальной жизни подходят к физике с некоторыми действительно странными нереальными вещами: «что, если частицы удерживаются вместе потоками волновой функции энергии», — спросили меня однажды. Лучший способ иметь дело с такими людьми — не говорить им, что то, что они говорят, не имеет смысла (они будут возражать). Но сказать: «Конечно, крутая теория. Ты можешь мне что-то предсказать или рассчитать с ее помощью?». Это сразу показывает им, что их «теория» не может считаться наукой, поскольку она «даже не ошибочна».
@Dast Да, я согласен, и некоторые вещи, которые вы изучаете в физике, невозможно выучить, пока вы не знакомы с уравнениями, и единственный способ добраться туда - это ... заткнуться и вычислить. Это самоусиление. Конечно, если вы одновременно хорошо знакомы с уравнениями и одновременно имеете ментальную модель вселенной, которая позволяет вам создавать упрощения и модели объяснений, вы в конечном итоге будете весьма уважаемы .
Я определенно не гений математики или физики, но мне кажется, что вопрос задом наперед. Вселенная ЕСТЬ . Мы создали числа и математику на основе этих чисел. И в нашу систему нам пришлось добавить «мнимые числа», чтобы наши уравнения лучше соответствовали вселенной, которую мы пытаемся понять. Если бы мы использовали какой-то другой метод количественной оценки нашей физической вселенной, они могли бы вовсе не быть мнимыми числами — они могли бы быть очень важными, невероятно полезными для описания физических явлений, которые мы наблюдаем, измеряем и моделируем.
Чем больше этот разговор продолжается, тем хуже описание комплексных чисел, равных 90 градусам. Хотя это и не является неправильным, оно не может описать, что комплексные числа сводят многомерные системы только к двум измерениям, причем воображаемым является то, как другие измерения влияют на реальную часть? Кто-нибудь еще думает, что это более точно? Или это совсем неправильно?
Re: «Действительно ли физики думают, что называть мнимые числа поворотом на 90 градусов — достаточно хороший ответ?» Вот эксперимент, который вы можете провести дома: начертите случайный набор чисел на комплексной плоскости. Затем сделайте еще один график, на котором вы умножили все исходные числа на я . Сравните два сюжета. (Подсказка: если вы физически повернете первый график против часовой стрелки на 90 градусов, это может помочь вам увидеть, куда он движется.)
@Solomon: Конечно, мы все изучали комплексные числа и согласны с этим ... Но это не очень полезное или полное объяснение. Векторы также делают то же самое. Комплексные числа и векторы идентичны? Здесь мы получили самые разные ответы. Это не неправильно, это просто не полный ответ.
@Solomon: Позвольте мне спросить: если это просто 2D-вращение, значит ли это, что всякий раз, когда оно используется для вычисления чего-то, его можно использовать только в 2D-системе? Итак, большая часть квантовой механики посвящена вращению в двумерной системе? Что происходит, когда мы используем комплексные числа в пространстве большей размерности? Просто сказать, что это поворот на 90, действительно заставляет многих людей ломать голову над тем, почему он так часто используется, когда все это просто векторное вращение? Зачем вообще его использовать, если это просто векторное вращение?
@OzOz, я предлагаю вам прочитать первые несколько глав этой книги: amazon.com/Road-Reality-Complete-Guide-Universe/dp/0679776311 Эта также может быть полезна: amazon.com/Linear-Algebra-Right- Бакалавриат-Математика/дп/…
@Solomon: Большое спасибо за ответ! Я, конечно, прочитал много книг по этой теме. Ты даже не мог попытаться объяснить?
«Два измерения» в плоскости комплексных чисел амплитуды вероятности не соответствуют двум пространственным измерениям в нашей Вселенной. Волновая функция ψ частицы в трехмерном пространстве является отображением р 3 → С .
@Scott: Это один из самых больших вопросов, которые у меня есть. Когда мы делаем это отображение, что происходит с третьим измерением? Я полагаю, мы потеряли информацию? Тогда как мы можем все же полностью описать систему? Чем больше продолжается этот разговор, тем больше я думаю, что комплексные числа — это способ изучения одного измерения многомерной системы (действительного компонента) путем сжатия информации из других измерений в воображаемую путем описания того, как другие измерения влияют на Только основной реальный диммер, их собственные внутренние эффекты удалены. Но, похоже, людям это не нравится!
@OzOz, я тоже прочитал много книг, но никогда не мог оценить комплексные числа, пока не прочитал «Дорогу к реальности». Вам придется пройти через несколько глав, чтобы увидеть это. Я не могу поместить это в эту ветку комментариев, и у меня нет времени. Однако я дам вам подсказку: каждое практическое вычисление можно приблизить к «достаточно близкому» значению, используя только отношения целых чисел. Причина, по которой комплексные числа столь убедительны, не в том, что они более эффективны, чем рациональные числа. Это алгебра. Написанные формулы чище и проще, когда символы обозначают комплексные значения.
Поле температуры представляет собой отображение р 3 → р . Вы все еще видите в этом проблему? Вы все еще беспокоитесь о втором и третьем измерении?

Ответы (10)

Комплексные числа используются во всей математике, и, следовательно, они используются в других областях, требующих математики; не только физика, но и техника и другие области. Попытка приписать «физическую интерпретацию» комплексному числу была бы похожа на приписывание физической интерпретации действительному числу, такому как число 5.

Комплексное число — это просто расширение действительного числа. Многих из нас учили в начальной школе о « числовой прямой » , которая является всего лишь линией, которая (цитируя Википедию) служит абстракцией для действительных чисел. Будучи линией, она одномерна. Комплексные числа такие же, за исключением того, что они двумерные: вместо того, чтобы описываться одномерной линией действительных чисел, они описываются двумерной «плоскостью комплексных чисел ». С использованием я для мнимой оси (где я 2 "=" − 1 ) — это математическое удобство, которое делает двумерные комплексные числа необычайно полезными.

Комментарии не для расширенного обсуждения; этот разговор был перемещен в чат .

Комплексные числа используются в «макро» физике. Они используются при анализе электрических цепей (особенно когда задействован переменный ток) и в гидродинамике. Решение дифференциальных уравнений упрощается, если используются комплексные числа, как и анализ Фурье. Любой сценарий, включающий периодические или циклические функции, можно смоделировать с помощью комплексных чисел.

они фундаментальны и для «микро» физики, поскольку квантовая механика не может быть построена без комплексных чисел.
@Zero Зависит от значения фразы «нельзя делать квантовую механику без комплексных чисел». Соответствующая физика.stackexchange.com/questions /32422/…
Спасибо, но все еще не уверен, -x имеет физическую интерпретацию движения назад, какова физическая интерпретация ix?
@OzOz Икс + я у это удобный способ объединения двух параметров реального состояния в одну величину. Для маятника такими параметрами могут быть положение и импульс. Для электрической цепи это могут быть ток и напряжение.
я Икс однако не имеет простой физической интерпретации я д д Икс имеет (отрицательный импульс). Это показывает, что комплексная плоскость дает нам простой способ объединить распределения вероятностей положения и импульса в единую функцию (волновую функцию).
Вы определенно могли бы делать QM без комплексных чисел, @ZeroTheHero. Хотите ли вы сделать это таким образом, это другой вопрос. Уравнение Шредингера имеет реальную формулировку - одно сложное уравнение переходит в два реальных уравнения. Вы могли бы сделать то же самое для любой другой теории поля, но это, вероятно, будет утомительно.
я Икс имеет совершенно хорошую физическую интерпретацию, когда, если Икс представляет вектор в комплексной плоскости: я Икс представляет вектор, который вы получаете, вращая Икс по часовой стрелке 90 ∘ .
"особенно, когда задействован переменный ток" -- Верно. @OzOz Сравните этот вопрос .
Интересные ответы. Я помню теорию чисел, в которой говорилось, что для правильного описания реальной прямой нужно использовать комплексные числа. Причина примерно в том, что реальная линия имеет неисчислимые бесконечности, чтобы описать форму объектов, которые счетно бесконечно малы на реальной линии, вам нужно было иметь новую переменную для описания этой формы. Этих бесконечно малых объектов не существовало, но они могли расширяться или двигаться со скоростью и оказывать влияние на реальные объекты. Физическая интерпретация импульса только таким образом имеет смысл?
Извините, этот ответ был сбит с толку! Наверное, я имею в виду: комплексные числа определенно связаны с формированием второго измерения? Какой размер и почему? Я думаю, что это как-то связано с сохранением формы в другом пространстве, которое не имело формы в предыдущем измерении, но я знаю, насколько это запутанно, может ли кто-нибудь объяснить это лучше?
Когда в электродинамике используются комплексные числа, есть только одна перпендикулярная вещь, магнитное поле... В квантовой механике я имеет много перпендикулярных измерений.
Комплексные числа на самом деле говорят о системе, в которой измерения вложены друг в друга, один нормальный размер с формой, но также и меньшее измерение, которое также имеет форму, но только для себя, а не для наблюдателя в измерении нормального размера. Только соседние измерения могут взаимодействовать, и они взаимодействуют одно с другим и обратно волнообразным образом. Воображаемое измерение невозможно увидеть, но со временем его изменение может увеличить его размер до нормального размера, поэтому многие говорят, что id/dx реальны. Это также поворот из нормального измерения в новое измерение.
@OzOz Взгляд математика, не являющегося физиком: когда у вас есть векторы, вы можете моделировать их с помощью линейной алгебры или комплексных чисел. Сложные дифференциальные функции обладают массой волшебных свойств , что делает их более удобными, когда нужно выполнить много вычислений.
Можете ли вы добавить что-то, что касается основного вопроса физической интерпретации мнимых чисел?
@LeeMosher ITYM, умножая на i, вращает вектор против часовой стрелки.
Хорошая точка зрения. Думал "положительное направление" и писал по часовой стрелке.

Фундаментальным объектом квантовой механики является амплитуда , которая кодирует информацию о том, как система переходит из одного состояния в другое. Например, если вы проводите эксперимент с двумя щелями, вас может интересовать, как электрон переходит из входящего состояния до щели в состояние, в котором он попадает в определенное место. Икс на детекторе. Для каждого другого конечного состояния будет разная амплитуда М Икс .

Нас интересуют амплитуды, потому что они могут рассказать нам о вероятностях. Согласно правилу Борна вероятность того, что электрон окажется в точке Икс дается абсолютным значением квадрата амплитуды, п ( Икс ) "=" | М Икс | 2 .

Вероятность — неотрицательное действительное число, но какой объект должен представлять амплитуду? Положительное действительное число? Любое реальное число? Пара действительных чисел? Комплексное число? Какой-то еще более абстрактный математический объект?

В этой статье мы рассматриваем этот вопрос, замечая, что, поскольку амплитуды соответствуют разным экспериментам, а эксперименты могут быть связаны друг с другом различными способами, мы должны иметь возможность комбинировать две амплитуды, чтобы получить третью амплитуду, и мы должны иметь возможность комбинировать их в по крайней мере двумя различными способами. Затем в статье доказывается, что если вы решите представлять амплитуды в виде пар действительных чисел, операции, соответствующие объединению экспериментов, в конечном итоге будут действовать точно так же, как комплексное сложение и комплексное умножение.

Статья не отвечает на вопрос, почему амплитуды должны быть парами действительных чисел, а не отдельными действительными числами, или тройками, или чем-то более сложным, но это хорошая отправная точка для того, чтобы увидеть, как сложная арифметика выпадает из логики квантовых экспериментов.

PS Использование одиночных действительных чисел для амплитуд не может объяснить эксперимент с одной и двумя щелями, где добавление второй щели приводит к нулям в распределении вероятностей, которых не было в распределении вероятностей с одной щелью. Использование пары действительных чисел (или одного комплексного числа) — следующая простейшая система, которая может объяснить такое поведение.

Это очень интересно, потребуется некоторое время, чтобы понять.
«Использование одиночных действительных чисел для амплитуд не может объяснить эксперимент с одной и двумя щелями». Я так не думаю. Пожалуйста, смотрите мой ответ на физике.stackexchange.com/questions /32422/…
@akhmeteli Мой аргумент довольно прост. Вероятностное распределение с одной щелью ψ 1 ( Икс ) 2 , и не имеет нулей. Распределение вероятностей с двумя щелями ( ψ 1 ( Икс ) + ψ 1 ( Икс + а ) ) 2 где а является щелевое разделение. Двухщелевое распределение имеет нули. Не существует непрерывной реальной функции, которая ведет себя таким образом при добавлении к смещенной версии самой себя. В конечном счете это связано с тем, что для перехода от положительных вещественных чисел к отрицательным числам вы должны пройти через ноль (что неверно для комплексных чисел). Вы можете определить QM с реальными волновыми функциями, но он не может сделать вышеперечисленное.
Итак, чтобы перефразировать этот ответ, путь к пониманию «физической интерпретации комплексных чисел» (как спрашивает ОП) заключается в понимании физической интерпретации операций над комплексными числами как амплитуд. И тогда можно понять, что особенности амплитуд дают определение комплексных чисел. Звучит аккуратно!
@LukePritchett: И зачем мне делать вышеперечисленное?
@akhmeteli Потому что это экспериментальный факт, что распределение вероятностей для эксперимента с одной щелью не имеет нулей, а распределение вероятностей для эксперимента с двумя щелями имеет нули? Если вы считаете, что распределения вероятностей должны исходить из квадратов непрерывных волновых функций, то вы должны использовать сложные волновые функции, иначе вы не сможете правильно предсказать нули.
@LukePritchett: Ваш аргумент, кажется, не выдерживает критики: Шредингер объяснил в своей статье 1952 года, что любое решение с (скалярной) сложной волновой функцией физически эквивалентно решению с реальной волновой функцией, которое может быть получено из исходного решения с помощью калибровочное преобразование. Шредингер писал: «То, что волновую функцию [уравнения Клейна-Гордона] можно сделать реальной, изменив калибровку, — всего лишь трюизм, хотя это и противоречит широко распространенному мнению о «заряженных» полях, требующих сложного представления».
@akhmeteli Я не говорю об уравнении Клейна-Гордона. Как известно, решения уравнения Клейна-Гордона не работают как волновые функции, верно? Но, в конце концов, покажите мне настоящую волновую функцию, которая дает правильные одно- и двухщелевые распределения, и я вам поверю.
@LukePritchett: подход Шредингера работает и для исходного уравнения Шредингера. Мне не нужно, чтобы вы верили мне или Шрёдингеру, но если у вас есть комплексное решение дифракционной задачи р опыт ⁡ ( я ф ) в 4-потенциальном А мю , то у вас есть реальное решение р задачи в 4-потенциальном А мю + ∂ мю ф , который создает такое же электромагнитное поле (в формулах я пренебрегаю знаками и постоянными множителями).
@akhmeteli Но я не говорю о векторном поле. Я говорю о волновой функции нерелятивистского электрона. Четыре потенциала не имеют ничего общего с экспериментом, о котором я говорю. Здесь: е я к р / р представляет собой волновую функцию для электрона через одиночную щель. Добавленная к самой себе сдвинутая двухщелевая волновая функция е я к р / р + е я к | р → − а Икс ^ | / | р → − а Икс ^ | . Эти два параметра дают правильное распределение вероятностей на детекторе, находящемся вдали от щелей. Какую реальную волновую функцию следует использовать вместо е я к р / р получить одинаковые дистрибутивы?
@akhmeteli Обе волновые функции из моего примера можно записать как реальные функции, умноженные на фазовую функцию. Но мой вопрос в том, как мне начать с реальной версии первой волновой функции и получить вторую волновую функцию? Разность фаз между двумя слагаемыми имеет решающее значение для интерференционной картины, но правильная разность фаз совсем не очевидна при использовании только реальных волновых функций. Где-то должно происходить сложное сложение, даже если оно скрыто отбрасыванием общих фаз в конце.
@LukePritchett: «Но я не говорю о векторном поле. Я говорю о волновой функции нерелятивистского электрона. Четырехпотенциал не имеет ничего общего с экспериментом, о котором я говорю». Я этого не понимаю. Я говорю о нерелятивистском электроне, описываемом скалярной волновой функцией ф , однако электрон движется во внешнем электромагнитном поле А мю (если у вас нет внешнего поля, у вас нет эксперимента с двумя щелями). Вы можете выбрать калибровочное преобразование, включающее ф и А мю таким образом, что ф становится реальным.
@LukePritchett: просто исправление к моему предыдущему комментарию: я должен был обозначить скалярную волновую функцию буквой ψ вместо ф , чтобы не путать с фазой волновой функции.

Комплексное число, как и любое число, само по себе ничего не говорит о физике. Он должен быть привязан к некоторым единицам измерения или иметь четкое определение в физике.

Например, комплексный показатель преломления определяется в физике как:

н _ "=" н + я κ .

Здесь мнимая часть κ определяется как коэффициент затухания - удельное сопротивление вещества проникновению световых волн

РЕДАКТИРОВАТЬ

Комплексные числа интенсивно используются при описании волн любого типа, потому что амплитуду волны и фазу волны можно поместить в одну комплексную амплитуду волны:

Z "=" А е я ф

Таким образом, большинство вещей, связанных с волнами, можно, по крайней мере теоретически, выразить в комплексных числах.
Например, комплексный показатель преломления можно проследить до других волновых свойств таким образом:

к _ "=" 2 π н _ / λ 0
где к _ комплексное волновое число

БОНУС

Еще одна причина, по которой сложная плоскость привлекательна, — вы можете больше заниматься математикой, если не привязаны к реальным числам. Например, вы можете даже взять натуральный логарифм отрицательного действительного числа:

п ⁡ ( − Икс ) "=" п ⁡ ( Икс ) + π   я

что приводит к комплексному числу ! Так что никогда не доверяйте своему карманному калькулятору

Я чувствую, что это приближается к реальному ответу, но это слишком конкретно, можно ли это как-то обобщить?
см. редактирование, я попытался сделать какие-то обобщения
Интересно, значит комплексное число можно использовать для выражения любой системы, в которой есть два независимых свойства, которые можно измерить? Что может быть вторым измерением или другим физическим свойством?
Отличается ли это от введения совершенно новой переменной? Я бы предположил, что идентичность i ^ 2 = -1 не применялась бы, если бы они были полностью независимыми измерениями или полностью независимыми физическими свойствами? Что означает эта связь физически? Это похоже на добавление нового измерения, но есть ли разница, связь между мнимым и реальным измерением? Я чувствую, что это может быть похоже на разницу между радиальным размером (уходит в бесконечность, не повторяется) и радиальным размером (ограниченное расстояние, повторы, длина задается радиальным размером, она основана на радиальном)?
@OzOz Если мы возьмем положительное число и умножим его на i, мы получим воображаемое, которое похоже на фазовый сдвиг на 90 градусов и полностью ортогонально. Итак, да, это похоже на независимую переменную, но затем, если мы снова умножим на i, мы получим фазовый сдвиг на 180 градусов, что является отрицанием вдоль исходной действительной оси.
@OzOz, Re, «[можно] комплексное число ... использоваться для выражения любой системы, в которой есть два независимых свойства ...?» двумерный вектор может это сделать, а комплексная плоскость является двумерным векторным пространством, но некоторые задачи (например, математическое описание периодических функций и волнового движения) особенно хорошо подходят для специфических алгебраических свойств комплексных чисел.
@Solomon Почему это хорошо подходит для периодических функций? Помимо того факта, что периодические функции перемещаются между двумя вещами, которые можно описать с помощью векторов? Если просто проще, то как и почему? Но другие люди говорят, что это из-за того, что с исчислением проще, еще больше говорят, что это из-за сложного анализа работы доказательств Коши, еще больше говорят, что они точно такие же, как векторы. Неужели чувствуется, что это плохо понимают? Не могли бы вы объяснить подробнее и прояснить это? Кто-нибудь может?

Комплексные числа — это просто удобный способ представления двумерного вектора. Они используются во всевозможных повседневных ситуациях, когда у вас есть компоненты X и Y или величина и фаза.

Этот ответ игнорирует мультипликативную группу комплексных чисел. Мультипликативные свойства комплексных чисел очень важны, и они не выпадают из того, что они просто являются двумерными векторами.
Лучше определенный вид матриц 2x2, а не только векторы.

Комплексные числа делают две очевидные вещи. Если вы думаете о них как о двумерных векторах на плоскости, начиная с произвольной точки (0,0), то сложение комплексных чисел является сложением векторов.

И если вы думаете о них как об углах от произвольного угла в полярных координатах (0,1), то, когда вы умножаете два из них, вы получаете сумму углов (и произведение величин).

Это может быть полезно всякий раз, когда у вас есть что-то, что работает как 2D-плоскость, где вы хотите выполнить сложение векторов или сложение углов.

Так, например, маятник может иметь кинетическую энергию и потенциальную энергию, и в большинстве случаев их сумма постоянна. Это две разные вещи, поэтому вы можете представить их на 2D-плоскости в виде круга, радиус которого равен общей энергии. Когда вы конвертируете из одного в другое, он движется по кругу. Вы можете представить его движение комплексными числами.

Вы можете сделать это со всем, что преобразует туда и обратно между двумя формами, но иногда это будет включать более простую математику комплексных чисел, чем в других случаях.

Иногда вещи соответствуют вращениям в 4 измерениях, и тогда вы можете использовать кватернионы, как если бы вы использовали комплексные числа для 2 измерений. Вы можете легко представить эллиптические орбиты с помощью кватернионов — даже проще, чем использовать их для трехмерных вращений. Для любого угла вдоль орбиты вы можете получить трехмерное положение, а также время — насколько оно опережает или отстает от времени, когда оно достигнет этого угла на круговой орбите.

Используйте математику везде, где она подходит.

Согласитесь, используйте математику там, где она подходит, на протяжении поколений, и однажды у вас будет достаточно мест, где она подходит, и тогда кто-то придет, поймет ее и поместит все это в краткую теорию, как это сделал Ньютон для исчисления. Может быть, но мне действительно кажется, что объяснения, которые я получаю для комплексных чисел, где-то отсутствуют.
Я объяснил краткую теорию. Вы можете складывать и вращать вектор между двумя независимыми вещами, которые можно рассматривать как разные измерения. Вот и все. Это полезно везде, где есть смысл сделать одно или оба из них.

Если положительные действительные числа — это прямые числа, а отрицательные действительные числа — обратные числа, то мнимые числа — это боковые числа.

С точки зрения углов, положительные действительные числа можно рассматривать как имеющие угол 0 °, отрицательные числа имеют угол 180 °, а боковые или мнимые числа находятся под углом ± 90 °. Это полезно в электротехнике при указании импеданса. Импеданс — это версия сопротивления переменного тока в цепи постоянного тока. Он имеет активную составляющую, которая не изменяет фазовый угол между током и напряжением, и реактивное сопротивление, которое изменяет угол между ними на ±90°. (Знак зависит от того, является ли реактивное сопротивление емкостью или индуктивностью.)

Если вы хотите объединить их в одно «число», вы можете использовать комплексные числа, где действительная часть — это сопротивление, а мнимая часть — реактивное сопротивление. Затем формулы продолжают работать так же, как простые формулы закона Ома, используя сопротивление, но вместо этого с комплексными числами. Одновременно учитываются как сопротивление, так и реактивное сопротивление.

По сути, везде, где у вас есть вещи, которые каким-то образом отстоят друг от друга на 90 °, могут быть полезны мнимые числа. Это могут быть координаты x и y или место, где возникают как синусоидальные, так и косинусоидальные волны.

Итак, если вам нужны двумерные числа, они могут подойти. Для трехмерных и более чисел вы, вероятно, перейдете к тензорам.

+1. Вы можете расширить этот пример такими идеями, как фаза переменного тока, показанная комплексным числом. Добавление двух комплексных токов имеет смысл (например, если они параллельны). Умножение комплексного тока на комплексное сопротивление также имеет смысл для получения комплексного напряжения, которое может быть не в фазе с током. Иногда вы можете захотеть рассмотреть свои комплексные числа в полярной форме, которая подчеркнет амплитуду и фазу.

Хорошая идея — думать о мнимых числах как о числах, перпендикулярных действительным. Умножение вещественного числа на -1 «поворачивает» его на 180° в строке действительных чисел. Умножение действительного числа на i поворачивает его на 90°, так что оно оказывается на воображаемой прямой. Повторное умножение на i поворачивает его на 90 градусов дальше, так что он снова оказывается на действительной оси. Следовательно, i*i=-1. Все это невероятно просто, но именно так мне нравится подходить к комплексным числам в более сложных сценариях, включающих сложные экспоненты, дифференциальные уравнения и т. д.

В конце концов, мнимые числа не более «нефизичны», чем отрицательные числа. Отрицательные числа расширяют ряд положительных действительных чисел, добавляя некоторые числа слева, а мнимые числа расширяют действительные числа, добавляя некоторые числа перпендикулярно. Использование как отрицательных, так и мнимых чисел можно исключить из уравнений, но это сделает их намного менее удобными.

Имея дело с синусоидальными функциями, которые не совпадают по фазе, как в цепях или волнах переменного тока, обычно можно представить уравнения в форме, которая напоминает сложение компонентов x двух или более векторов, чтобы получить компонент x результирующего вектора. Векторы можно рассматривать как вращающиеся в двумерной плоскости. Часто удобнее работать с векторами, чем с компонентами. Если векторы визуализируются в плоскости xy, важны только компоненты x. Если их визуализировать в плоскости комплексных чисел, их удобно представлять комплексными функциями, но опять же в большинстве случаев физическое значение имеют только действительные компоненты векторов.

Извините за длинную историю, которая касается только названия вашего вопроса (а не внутренних вопросов).

Я помню, как впервые познакомился с комплексными числами в школе. Учитель (математики, а не физики) объяснял нам, как решать квадратные уравнения ( a.x^2+b.x+c=0). Предоставив нам метод, он получил хорошо известное решение для корней:

Икс "=" − б ± б 2 − 4 а с 2 а

Конечно, сообразительному ученику не потребовалось много времени, чтобы сказать учителю: «Эй, а что тогда произойдет, если выражение в квадратном корне отрицательное?» Например, решите x^2+1=0, ваши корни будут:

Икс "=" ± − 4 2

Весь ( или большая часть ) класс понял загадку и начал чесать в затылке, так как точно знал, что никакое число нельзя возводить в квадрат и сохранять отрицательный знак...

Учитель продолжал совершенно невозмутимо: «Это не проблема, мы можем сделать инструменты для этого. Давайте просто используем количество, iопределенное как i^2=-1«. И он продолжал вводить комплексные числа и правила в комплексной плоскости.

Снова это было незадолго до того, как голос из сбитой с толку аудитории закричал: «Так это на самом деле запутанный способ обойти правила, которым вы учили нас ранее (например, квадрат числа всегда будет положительным). Какой в ​​этом смысл? сложность? ( не каламбур, хотя теперь мне интересно, как комплексные числа получили свое название изначально ).

Итак, учитель выразился так:

Есть много физических уравнений, которые следуют квадратичному закону или даже более сложным законам, где решения включают квадратные корни из потенциально отрицательных чисел, и (до комплексных чисел) врачи не могли полностью решить свою систему, поэтому они просили математиков определить новый домен (больше, чем Realдомен), где эти системы были бы разрешимы. Комплексные числа — это инструмент, который придумали математики.

К настоящему времени мое понимание комплексных чисел стало немного глубже, но это простое описание остается верным. Комплексные числа — это всего лишь математический инструмент . Комплексное число не имеет другого физического эквивалента, кроме того, который вы им даете.

То же самое можно сказать и о Realцифрах. Я работаю с мультисенсорным инструментом, который параллельно измеряет 10 различных параметров. На выходе для кого-то просто список чисел, только я знаю, что:

  • первое число представляет вес в [N] ,
  • второй момент , в [Нм]
  • третья - ускорение, в [G]
  • и так далее ...

Все разные физические измерения, но на моем экране они все просто числа , только в моей голове я знаю, что это представляет это, это представляет это...

Для комплексных чисел у вас есть 2 компонента. Каждый из них может представлять различные физические измерения (электрическое поле и магнитное поле для ЭМ). Часть i— это всего лишь математический инструмент, позволяющий вам обрабатывать эти числа в более изящной форме (потому что вы также можете описать каждый компонент отдельно только с помощью действительных чисел, но уравнения станут очень уродливыми). Само iпо себе физически ничего не значит.

Я согласен, комплексные числа - это математический инструмент. Но мне не нравится описание поворота на 90 градусов... Я думаю, что это математический инструмент, где вы берете главное измерение (которое вы называете действительными числами, обычно это то, что вы можете измерить), затем вы добавляете все другие размеры в мнимой части. Воображаемая часть — это то, как все остальные измерения влияют на ту часть, которую вы выбрали реальной. Раньше в физике было только одно измерение в воображаемой стороне, теперь с квантовой сферой много тусклости, а математика усложняется, потому что я мог бы быть в нескольких измерениях.
Физическая интерпретация комплексных чисел [дубликат]
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v