Можно ли сформулировать уравнение Шредингера таким образом, чтобы исключить мнимые числа? [дубликат]

Вы можете легко удалить все ссылки на комплексные числа довольно тривиальным способом, хотя это приведет к гораздо менее математически элегантным выражениям. Например, вы можете выбрать работу в базисе положения и вместо использования комплекснозначной волновой функции, которая присваивает комплексное число каждой точке в конфигурационном пространстве, вы можете использовать волновую функцию с двумя вещественными компонентами, т. е. присваивающую упорядоченную пару действительных чисел$\vec{\psi}(\{\vec{x}_i\})$в каждую точку конфигурационного пространства. Умножение на$i$(например, в уравнении Шредингера и в канонических коммутационных соотношениях) было бы заменено применением ортогональной матрицы

$$\hat{O} := \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array}\right),$$ который вращает "вектор" $\vec{\psi}$на 90 градусов против часовой стрелки. Таким образом, уравнение Шрёдингера станет $\hat{H} \vec{\psi} = \hbar\, \hat{O}\, d\vec{\psi}/dt$(в основе положения). Но было бы намного сложнее делать такие вещи, как изменение базиса.

На самом деле это именно то, что все вычислительные алгоритмы делают «под капотом» — компьютеры внутренне представляют комплексные числа как упорядоченные пары действительных чисел, и все операции над комплексными числами преобразуются в операции над парами действительных чисел.

В разделе 4 этой статьи обсуждаются некоторые мотивы того, почему мы можем ожидать, что такая теория, как квантовая механика, может быть наиболее естественно выражена с помощью комплексных чисел (что сильно отличается от утверждения, что ее можно выразить только с помощью комплексных чисел). По сути, было бы неплохо, если бы используемое нами числовое поле было алгебраически замкнутым. Квадратный корень из комплексного числа всегда комплексный, но квадратный корень из действительного числа не всегда реален. Тем не менее, группа$GL(2, \mathbb{R})$из$2 \times 2$настоящие обратимые матрицы алгебраически замкнуты, так что в этом смысле они так же хороши, как и комплексные числа. (Примечание для экспертов и придирок: здесь я умалчиваю о некоторых тонкостях, например, о том, что$GL(2, \mathbb{R})$не закрывается при сложении и, следовательно, не является полем, поэтому, строго говоря, вы должны говорить о закрытии при возведении в степень, а не об алгебраическом закрытии.)

Я почти уверен, что геометрическая алгебра обходится без мнимых комплексных чисел i для уравнения Шредингера: https://en.wikipedia.org/wiki/Spacetime_алгебра

Hestenes «Геометрическая алгебра» использует алгебру Клиффорда с действительным знаком.

Вы все еще видите i, I в уравнениях геометрической алгебры, но они почти всегда являются псевдоскалярами .

Псевдоскаляры - это элемент геометрической алгебры с наивысшей оценкой данного измерения, а не мнимые комплексные числа, как я полагаю, многие предполагают, не зная формализма ГА.

Псевдоскаляры действительно имеют отрицательный квадрат для 2D и 3D Евклидова и 4D пространств Минковского, дающих изоморфизмы с комплексными числами в 2D, кватернионы в 3D

Произведение псевдоскалярного геометрического/Клиффорда с элементами более низкого качества дает двойной