Доказательство двухточечной функции геометрического ряда

При выводе выражения для точного пропагатора

г с ( 2 ) ( Икс 1 , Икс 2 ) "=" [ п 2 − м 2 + Π ( п ) ] − 1

для ф 4 Теоретически все книги, которые я знаю, используют следующий аргумент:

г с ( 2 ) ( Икс 1 , Икс 2 ) "=" г 0 ( 2 ) + г 0 ( 2 ) Π г 0 ( 2 ) + г 0 ( 2 ) Π г 0 ( 2 ) Π г 0 ( 2 ) + … .

Здесь Π является суммой всех неприводимых диаграмм.

Используя диаграммы Фейнмана для низших порядков, мы видим, что это так, но как насчет высших порядков? Есть ли какое-либо формальное доказательство (по индукции или как-то еще), что это так?

Ответы (1)

Набросанное доказательство:

  1. В общем случае мы знаем, что связная диаграмма — это дерево голых пропагаторов. г 0 и (ампутированные) вершины 1PI, ср. Лемма 3.11 в [1]. 1.

  2. В частности, полная пропагатор/связная двухточечная функция г с должны быть строки голых пропагаторов г 0 и (ампутированная) 2-pt вершина Σ ≡ Π , которую мы называем собственной энергией .

  3. А как насчет коэффициентов перед каждой диаграммой Фейнмана? Из-за задействованной комбинаторики / факторизации он становится геометрическим рядом

    (А) г с   "="   г 0 ∑ н "=" 0 ∞ ( Σ г 0 ) н .

  4. Мы можем изолировать (ампутированные) 2-pt вершины в уравнении. (А)

    (Б) Σ   "="   г 0 − 1 − г с − 1 .

  5. В общем собственная энергия Σ состоит из соединенных диаграмм с 2 ампутированными ногами, так что эти 2 ноги нельзя разъединить, перерезав одну внутреннюю линию.

  6. Если нет головастиков, собственная энергия Σ это 1PI, ср. мой ответ Phys.SE здесь .

Использованная литература:

  1. P. Etingof, Geometry & QFT, MIT 2002 online конспекты лекций ; Разделы 3.11 и 3.12.
Доказательство двухточечной функции геометрического ряда
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v