Сложный лагранжиан — проверка правил Фейнмана

У меня есть следующий пример лагранжиана:

л "=" [ ψ ¯ ( я Д − М ) ψ − 1 4 Ф мю ν Ф мю ν ] + + ∑ я "=" 1 , 2 [ ( Д мю ф я ) ( Д мю ф я ) † − м я 2 | ф я | 2 ] + + 1 2 [ х † γ 0 ( я ∂ − м х ) х ] + + 2 λ [ ф 1 х † γ 0 п л ψ − ф 2 х † γ 0 п р ψ + hc ]

С Д мю "=" ∂ мю − я λ А мю , п р / л "=" ( 1 ± γ 5 ) / 2 . Поле ψ является фермионом, т. ф я являются комплексными скалярными полями и х является майорановским фермионом. Я хочу записать правила Фейнмана.

Итак, первая скобка — это обычный КЭД-лагранжиан, поэтому она включает в себя ψ фотонные пропагаторы и обычная вершина взаимодействия. Точно так же вторая скобка содержит два комплексных скалярных поля, связанных с электромагнитным полем, так что в основном это просто два скалярных лагранжиана КЭД.

Я не уверен насчет третьей скобки, потому что вообще не знаю, как обращаться с майорановскими фермионами. Это кинетический термин, и единственное отличие состоит в наличии γ 0 , но я не уверен, как это должно появиться в пропагаторе? Это просто умножается, например:

γ 0 я п − м х + я ϵ ?

Если да, то как мне узнать, с какой стороны расположить гамма-матрицу?

Что касается четвертой скобки, то взаимодействия происходят между одним из комплексных скалярных полей, спинором Майорана и спинором Дирака. Я не знаю, как включить сюда проекцию и гамму. Вершины просто будут:

2 λ γ 0 п р / л ?

Как будут выглядеть вершины?

В общем, моя проблема заключается в том, чтобы выяснить, как включить такие объекты, как гамма-матрицы или проекционные операторы, в соответствующие правила Фейнмана для таких странных взаимодействий.

Ответы (1)

Что касается спиноров Майораны, думайте о них как о «настоящих» спинорах, тогда как спиноры Дирака являются «сложными». Для реального скалярного поля ф "=" ф * , а для комплексного скалярного поля ф и ф * являются независимыми степенями свободы. Аналогично, для спинора Дирака ψ и ψ * являются независимыми степенями свободы, а для майорановского спинора ψ * "=" ψ . Антикоммутационные соотношения для гамма-матриц останутся прежними.

Найти функцию Грина или пропагатор майорановского спинора х , вы должны — как и в случае со спинором Дирака — найти обратный этому оператору

[ γ 0 ( я ∂ − м х ) ] г ( Икс − у ) "=" я дельта ( Икс − у )
что даст тебе
г ( Икс − у ) "=" ∫ г 4 п ( 2 π ) 4 я ( п + м х ) γ 0 п 2 − м 2 + я ϵ е − я п ⋅ ( Икс − у )
Обратите внимание, что γ 0 п γ 0 к "=" γ 0 γ мю ∂ мю γ 0 γ ν ∂ ν "=" − ( γ 0 ) 2 γ мю ∂ мю γ ν ∂ ν . Поэтому вы должны поставить γ 0 в приведенном выше пропагаторе справа, чтобы убедиться, что знак минус отменяется (как каждый раз, когда вы тянете γ 0 'через' п получает знак минус).

Поскольку спинор Майораны «реален», х и х * одинаковы. ψ является спинором Дирака и, следовательно, имеет разные киральные компоненты (которые получаются из проекционных операторов п л и п р ). Условия взаимодействия говорят вам, что этот майорановский спинор х взаимодействует с разностными киральными частями (левой и правой компонентами) спинора Дирака ψ по-разному

2 λ х † γ 0 [ ф 1 п л − ф 2 п р ] ψ + hc
Если вы хотите сделать диаграммы Фейнмана, это означает, что у нас будет два различия между диаграммами для ф 1 и ф 2 , и п л ψ и п р ψ , так как эти разные компоненты полей будут взаимодействовать по-разному.

Для первого члена взаимодействия (с участием х † , ф 1 и п л ψ ) термин взаимодействия действительно будет таким, как вы сказали: 2 λ γ 0 .

Я не уверен, как написать часть hc. Собирается ли оператор проекции переключиться с R на L? Я хочу выписать вершины для х , ф 1 , ψ . Кроме того, поскольку х должен быть «настоящим» фермионом, х † "=" х ?
Так, например, какова будет разница между вершинами для ( ψ ¯ , х , ф 1 ) и ( ψ , х † , ф 1 † ) ? п л антикоммутирует с γ 0 , так что я получу п р из этого права?
Помните, что проекционные операторы могут быть записаны как п р , л "=" ( 1 ± γ 5 ) и γ 5 † "=" γ 5 .
правильно, поэтому, когда я спрягаю γ 0 п л Я получу п л γ 0 "=" γ 0 п р с { γ 0 , γ 5 } "=" 1
Да. (В моем предыдущем комментарии должно быть сказано п р , л "=" 1 2 ( 1 ± γ 5 ) , но это не очень актуально) Действительно, ( γ 0 п л ) † "=" γ 0 п р как вы указываете.
Кстати, обратите внимание, что п р вы получаете в своем примере работает на ψ † справа. Таким образом, эрмитово сопряжение термина ф 1 х † ( γ 0 п л ψ ) будет ф 1 * ( ψ † п л γ 0 ) х , с участием левой части ψ † и снова имея γ 0 в термине взаимодействия. Вы хотите п л работать непосредственно на ψ † рядом с ним, чтобы вы могли видеть, что термин взаимодействия будет включать γ 0 это термин «между» полями, ( ψ † п л ) γ 0 ( х ) .
Сложный лагранжиан — проверка правил Фейнмана
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v