Что не так с моим аргументом в пользу вывода гамильтониана в теории относительности?

В общей теории относительности (и специальной тоже) лагранжиан для частицы массы$m$при отсутствии других сил, кроме силы тяжести

$$L=m\sqrt{g_{\mu\nu}U^\mu U^\nu}$$

где$U^\mu$является четырехскоростной. В этом случае мы можем получить импульс$p_\mu$к

$$p_\mu=\dfrac{\partial L}{\partial U^\mu}=\dfrac{\partial}{\partial U^\mu}m\sqrt{g_{\alpha\beta}U^\alpha U^\beta}$$

$$p_\mu=\dfrac{mg_{\alpha\beta}}{2\sqrt{g_{\alpha\beta}U^\alpha U^\beta}}\left(\delta^\alpha_\mu U^\beta+\delta^\beta_\mu U^\alpha\right)=\dfrac{mg_{\mu \alpha}U^\alpha}{\sqrt{g_{\alpha\beta} U^\alpha U^\beta}}$$

Если мы параметризуем мировую линию по собственному времени$\tau$затем$L(\gamma(\tau),\gamma'(\tau))=m$и мы получаем квадратный корень из знаменателя, который просто$1$. Затем

$$p_\mu= m g_{\mu\alpha}U^\alpha,$$

и это компоненты ковектора. Это напрямую приводит к четырехвектору импульса

$$p^\mu= m U^\mu.$$

Здесь все работает. Теперь я хочу вычислить энергию. Ну гамильтониан как всегда должен быть

$$H=p_\mu U^\mu-m\sqrt{g_{\mu\nu}U^\mu U^\nu}=m g_{\mu\nu}U^\mu U^\nu-m\sqrt{g_{\mu \nu}U^\mu U^\nu}.$$

Но если вещи параметризованы собственным временем, когда мы вычисляем$H$на пути, т.$H(\gamma(\tau),\gamma'(\tau))$получаем ноль!

Я ожидал получить$H = p^0$.

Что я здесь делаю неправильно? Почему я получаю ноль?