Уравновешиваются ли замедление времени и сокращение длины?

Здесь много путаницы. Также в специальной теории относительности очень важно четко понимать, что мы имеем в виду, когда пишем переменные, особенно когда имеем дело с несколькими системами отсчета.

Давайте относиться к вещам правильно: учитывая две системы отсчета (так что два наблюдателя, если вам больше нравится это имя)$O$и$O'$, в относительном движении относительно друг друга с постоянной скоростью$v$, с точки зрения$O$уравнение относительно замедления времени и сокращения длины:

$$t'=\frac{t}{\gamma}$$ $$l'=l\gamma$$ но эти уравнения сами по себе ничего не значат! Мы должны действительно понять, что$l,t,l',t'$использовать эти уравнения.
Хорошо:$t,l$измерения времени и длины соответственно, сделанные$O$на объект, который все еще находится в системе отсчета$O'$. С другой стороны$t',l'$измерения, сделанные$O'$на том же объекте. Итак, чтобы получить картинку в голове:$O$видит измеряемый объект движущимся, а$O'$нет.

Вы можете легко запомнить эти уравнения по названиям явлений, которые они описывают: замедление времени примерно означает, что время истекло с точки зрения$O$($t$) больше по сравнению с прошедшим временем с точки зрения$O'$($t'$), и мы знаем, что константа пропорциональности должна быть$\gamma$, но с тех пор$\gamma$ всегда больше единицы, мы сразу видим, что:

$$t>t' \ \Rightarrow \ t'=\frac{t}{\gamma}$$ но будьте осторожны: это вовсе не доказательство! Это просто полезная мнемоническая техника для запоминания формулы.
Вы, конечно, можете сделать то же самое с сокращением длины , но на этот раз$l'>l$.

Имейте в виду еще одну вещь: в Интернете или в книгах вы обязательно найдете источники, сообщающие, казалось бы, прямо противоположные уравнения, которые я сообщил, но просто не забывайте обращать внимание на значение букв, и все несоответствия должны исчезнуть.

Также помните, что это явление работает в обоих направлениях,$O$видит$O'$двигаться, но с точки зрения$O'$является$O$что движется, значит явления полностью симметричны! Обычно поначалу это кажется очень странным, но со временем вы освоитесь. Надеюсь, что избавил вас от путаницы.

Теперь вы должны понять, почему ваши рассуждения неверны.

Я представлю формулы, диаграммы и интерпретацию замедления времени и сокращения длины в менее двусмысленных обозначениях. (Штриховые и нештрихованные обозначения часто приводят к путанице.)

В конце
я попытаюсь повторить ваш расчет, который отменяет$\gamma$-фактор и продемонстрировать ошибку в вашей физической интерпретации.

Я использую диаграмму пространства-времени на повернутой миллиметровке, чтобы мы могли сразу считывать отметки вдоль сегментов. («Часовые ромбы» генерируются пространственно-временными путями световых сигналов в световых часах. Согласно лоренц-инвариантности площади всех ромбов часов равны.)

---

Мы рисуем$\color{red}{\mbox{Alice's (RED)}}$диаграмма пространства-времени, где$\color{blue}{\mbox{Bob (BLUE)}}$движется по инерции с$(v/c)=6/10$.

Замедление времени включает в себя прямоугольный треугольник Минковского OTQ,
измеряющий смежный компонент OT гипотенузы времениподобного смещения-OQ.

Сокращение длины включает прямоугольный треугольник Минковского OLD ,
измеряющий пространственноподобную гипотенузу OD (кажущаяся длина лестницы Боба), где OL - «расстояние между параллельными линиями» (собственная длина лестницы Боба), которая является примыкающей стороной треугольника. OLD, который перпендикулярен Минковскому к DL вдоль мировой линии передней части лестницы Боба.

(Эти треугольники численно подобны. Один включает быстроту (угол Минковского между двумя времениподобными линиями), а другой включает угол Минковского между двумя пространственноподобными линиями, которые ортогональны по Минковскому времениподобным линиям. Все эти векторы компланарный.)

(Для относительной скорости$(v/c)=\displaystyle\frac{(6)}{(10)}$, у нас есть$\gamma=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}=\frac{(5)}{(4)}$.)

---

Вот замедление времени:

$$\gamma=\frac{(adj)}{(hyp)}=\frac{OT}{OQ}$$ так $$\begin{align} (OT) &=\gamma(OQ)\\ \large\Delta t^A_{OT} &\large =\gamma\ \Delta t^B_{OQ}\\ \left( \begin{array}{c} \mbox{duration of $OQ$}\\ \mbox{according to Alice} \end{array} \right) &= \gamma \left( \begin{array}{c} \mbox{duration of $OQ$}\\ \mbox{according to Bob} \end{array} \right)\\ \Large \Delta t^A_{OQ} &\Large =\ \gamma\ \Delta t^B_{OQ}\\ (10) & \stackrel{\checkmark}{=} \left(\frac{5}{4}\right) (8) \end{align}$$

---

Вот сокращение длины:

$$\gamma=\frac{(adj)}{(hyp)}=\frac{OL}{OD}$$ так $$\begin{align} (OD) &=\frac{(OL)}{\gamma}\\ \large\Delta x^A_{OD} &\large =\ \frac{\Delta x^B_{OL} }{\gamma}\\ \left( \begin{array}{c} \mbox{distance between Bob's lines}\\ \mbox{according to Alice} \end{array} \right) &= \frac{ \left( \begin{array}{c} \mbox{distance between Bob's lines}\\ \mbox{according to Bob} \end{array} \right) } { \gamma } \\ \Large L^A_{\scriptsize\mbox{ B's ladder}} &\Large = \frac{ L^B_{\scriptsize\mbox{ B's ladder}} }{\gamma}\\ \Delta x^A_{OD} & = \frac{\Delta x^B_{OD}}{\gamma}\\ (4) & \stackrel{\checkmark}{=} \frac{ (5) }{ \left(\frac{5}{4}\right) } \end{align}$$

---

Возможно, вы захотите проверить свои формулы с простыми и «непростыми» числами.

Теперь давайте попробуем вычислить, чтобы отменить$\gamma$-факторы.

$$\large \begin{align} \frac{ \Delta x^A_{OD} }{ \Delta t^B_{OQ} } &= \frac{\displaystyle \frac{ \Delta x^B_{OD} }{\gamma} } { \frac{ \displaystyle \Delta t^A_{OQ} }{\gamma} } = \frac{\Delta x^B_{OD} }{\Delta t^A_{OQ}} \end{align}$$

Важно отметить, что ни одна из сторон не является скоростью,
поскольку ни одна из сторон не является наклоном, измеренным Алисой или Бобом,
поскольку ни одна из сторон не имеет формы

$$\left( \begin{array}{c} \mbox{velocity of something}\\ \mbox{according to Alice} \end{array} \right)= \frac{ \left( \begin{array}{c} \mbox{spatial component of a hypotenuse}\\ \mbox{according to Alice} \end{array} \right) } { \left( \begin{array}{c} \mbox{temporal component of a hypotenuse}\\ \mbox{according to Alice} \end{array} \right) }$$ Подсчитав бриллианты, мы имеем $$\frac{(4)}{(8)} = \frac{ (5)}{(10)}$$ что не предполагает непосредственной физической интерпретации скорости.
При выборе более длительного прошедшего времени для OQ или более длинной лестницы для OL соотношения будут меняться на тот же коэффициент. Во всяком случае, непосредственной физической интерпретации до сих пор нет.

Давайте рассмотрим обычную установку с кадром O', движущимся вправо со скоростью v относительно кадра O. Предположим, что два кадра совпадают при t=t'=0 и x=x'=0. Итак, предположим, что у нас есть объект, путешествующий в O между x=0 и x=L за время T. Таким образом, (x$_1$, т$_1$)=(0,0) и (х$_2$,т$_2$)=(L,T). Таким образом, скорость объекта в O равна u=L/T.

Чтобы найти соответствующий (x$_1'$, т$_1'$) и (х$_2'$, т$_2'$) используем преобразование Лоренца и находим

$$(x_1', t_1')=(0,0),(x_2', t_2')=(\gamma(L-vT),\gamma(T-vL/c^2)$$ Таким образом, наблюдатель в O' измерил бы скорость объекта u'=x$_2'$/т$_2'$= (L-vT)/(T-vL/c$^2$).

Обратите внимание, что в пределе v/c -> 0 мы получаем u' = (L/T) -v, как и ожидалось (относительная скорость).

Я полагаю, что вы вычисляете относительную скорость двух кадров, которая одинакова для обоих наблюдателей. Посмотрите мой ответ здесь: Измерение относительных скоростей в SR

В вашем аргументе неверны только две вещи:

Во-первых, утверждение, что$s=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} s'$где$s$это расстояние, пройденное в кадре$S$и$s'$это расстояние, пройденное в кадре$S'$это неверно.

Мы должны учитывать, что рамка$S'$движется со скоростью$v$относительно кадра$S$, поэтому правильное уравнение должно быть

$$s=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} s'+vt,$$ где$t$- прошедшее время, измеренное в секундах. (Обратите внимание, что это похоже на$x=x'+vt$в преобразованиях Галилея, но с длиной$x'$контракт.)

Во-вторых, утверждение, что$t=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} t'$где$t$это время, затрачиваемое на преодоление расстояния$s$в$S$и$t'$это время, затрачиваемое на преодоление расстояния$s'$в$S'$это неверно.

Вывод формулы замедления времени таков, что она действительна только для часов, зафиксированных в определенной точке кадра.$S'$. Для измерения времени, необходимого для преодоления расстояния в$S'$, мы должны использовать два часа в$S'$расположенные в двух разных точках$S'$. Таким образом, мы не можем использовать формулу замедления времени.

Чтобы связать$t$и$t'$, мы берем перспективу кадра$S'$. Согласно кадру$S'$, рамка$S$удаляется со скоростью$-v$. На расстоянии$s$перемещено в кадр$S$, Расстояние$s'$перемещено в кадр$S'$будет

$$s'=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} s-vt'.$$

Связывая это с уравнением

$$s=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} s'+vt,$$ мы можем решить это $$t'=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}(t-\frac{v}{c^2}s)=\gamma{(t-\frac{v}{c^2}s)}.$$

Теперь, когда мы связались$s$,$s'$,$t$и$t'$правильно друг к другу, вы можете перейти к показу, что в целом${s \over t}\neq{s'\over t'}$.

Примечание: отношения между$s\over t$и$s' \over t'$будет правилом сложения скоростей Эйнштейна .

Использованная литература:

1. Гриффитс, Введение в электродинамику , глава 12.